青训营刷题笔记：数字分组与选择问题 | 豆包MarsCode AI刷题

青训营刷题笔记：数字分组与选择问题

问题描述

小M面对一个包含多组数字的列表，需要从每组中选择一个数字组成一个新数，并要求这个新数的各位数字之和为偶数。任务是计算出满足条件的选择方法总数。

分析思路

要满足数字之和为偶数，需统计每组中奇数和偶数的数量，并通过组合推算满足条件的方案总数。

1. 初始化状态：
   假设开始时没有选任何数字，视为一个"空组合"。空组合的数字和为 0（偶数），因此初始 even_count = 1，odd_count = 0。

2. 遍历每组数字：
   对于每一组数字，统计其中奇数 (current_odd) 和偶数 (current_even) 的数量。

3. 更新组合状态：
   当前选择对整体偶奇状态的影响如下：

   • 新的偶数组合数：
     由之前的偶数组合数搭配当前偶数，或奇数组合数搭配当前奇数得到。
   • 新的奇数组合数：
     由之前的偶数组合数搭配当前奇数，或奇数组合数搭配当前偶数得到。 公式如下：

   new_even_count = even_count * current_even + odd_count * current_odd
   new_odd_count = even_count * current_odd + odd_count * current_even
   

4. 最终结果：
   所有组合中，满足条件的方案数即为最终 even_count。

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代码实现

def solution(numbers):
    # 初始化偶数和奇数的组合数
    even_count, odd_count = 1, 0  # 初始状态：一个空集，和为偶数

    # 遍历每个数字组
    for group in numbers:
        current_even, current_odd = 0, 0

        # 统计该数字组中奇数和偶数的数量
        for digit in str(group):
            if int(digit) % 2 == 0:
                current_even += 1
            else:
                current_odd += 1

        # 更新组合的状态
        new_even_count = even_count * current_even + odd_count * current_odd
        new_odd_count = even_count * current_odd + odd_count * current_even

        even_count, odd_count = new_even_count, new_odd_count

    # 返回最后的偶数组合数
    return even_count

# 测试样例
if __name__ == "__main__":
    print(solution([123, 456, 789]) == 14)  # 输出 True
    print(solution([123456789]) == 4)       # 输出 True
    print(solution([14329, 7568]) == 10)    # 输出 True

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测试样例

1. 样例1
   输入：numbers = [123, 456, 789]
   分析：

   • 第一组：奇数 1, 3，偶数 2 → 奇数 2 个，偶数 1 个。
   • 第二组：奇数 5，偶数 4, 6 → 奇数 1 个，偶数 2 个。
   • 第三组：奇数 7, 9，偶数 8 → 奇数 2 个，偶数 1 个。
     输出：14

2. 样例2
   输入：numbers = [123456789]
   分析：奇数 5 个，偶数 4 个。
   输出：4

3. 样例3
   输入：numbers = [14329, 7568]
   分析：

   • 第一组：奇数 3 个，偶数 2 个。
   • 第二组：奇数 3 个，偶数 1 个。
     输出：10

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总结

本题利用动态规划的思想，通过记录奇偶组合状态的转移，避免暴力穷举所有组合，降低了计算复杂度。核心难点在于推导偶奇状态转移公式，解决过程也体现了数学分析与编程实现的结合。数字分组与选择问题总结

本题的目标是从多个数字组中选择数字组成一个新数，使其各位数字之和为偶数，并计算符合条件的组合方式数量。核心考点是奇偶性质对数字和的影响，以及如何通过动态规划思想高效计算结果。

解题思路

1. 奇偶性质分析：
   一个数的各位数字之和为偶数，当且仅当选择的数字中奇数的个数为偶数。因此，问题可以转化为统计选择数字后奇数总个数为偶数的方案数。

2. 动态规划状态转移：
   使用两个变量 even_count 和 odd_count 分别记录当前组合中奇数和偶数的方案数。

   • 初始状态：组合为空，和为偶数，even_count = 1，odd_count = 0。

   • 遍历每个数字组时，统计其中的奇偶数字数量：

     • 新的偶数组合数 = 之前偶数组合数 × 当前偶数数量 + 之前奇数组合数 × 当前奇数数量。
     • 新的奇数组合数 = 之前偶数组合数 × 当前奇数数量 + 之前奇数组合数 × 当前偶数数量。

   • 更新后，继续处理下一个数字组。

3. 边界处理：
   当所有数字组遍历完成后，结果即为 even_count 的值，表示满足条件的方案总数。

实现效果

通过动态规划避免了对所有可能组合的暴力穷举，大大降低了复杂度。以 numbers = [123, 456, 789] 为例：

• 第一组奇偶分布为奇数 2、偶数 1，更新后偶数组合数为 1。
• 第二组奇偶分布为奇数 1、偶数 2，更新后偶数组合数为 6。
• 第三组奇偶分布为奇数 2、偶数 1，更新后偶数组合数为 14。
  最终输出结果为 14。

总结

本题通过奇偶性质的分析，将问题抽象为动态规划的状态转移，避免了组合的暴力穷举。核心难点在于公式推导以及状态的正确更新。这种方法不仅提升了效率，还增强了对数学与编程结合问题的解决能力，适合处理类似组合与选择类的题目。