AI刷题：最长递减路径节点数查找 | 豆包MarsCode AI 刷题

题解：最长递减路径

在给定一个二维网格的情况下，我们需要找到一条最长的递减路径。路径上的每个节点值都必须严格递减，并且只能上下左右移动，不能走对角线，也不能走出网格的边界。这个问题可以通过深度优先搜索（DFS）结合动态规划（DP）的方法来解决。

问题分析

1. 路径递减：路径上的每个节点值都必须严格递减，这意味着我们不能从一个较大的值跳到另一个较大的值或相等的值。
2. 移动限制：只能上下左右移动，这限定了搜索的方向。
3. 边界条件：不能走出网格的边界，这需要在搜索过程中进行边界检查。

算法设计

1. 数据结构选择：

   • 二维数组 grid：用于存储网格的值。
   • 二维数组 dp：用于存储每个节点的最长递减路径长度。初始值设为 -1，表示该节点还未计算。

2. 算法步骤：

   • 深度优先搜索 (DFS) ：从每个节点开始，使用 DFS 探索所有可能的路径。

     • 对于每个节点，检查其四个相邻节点（上、下、左、右）。
     • 如果相邻节点的值小于当前节点的值，则递归调用 DFS。

   • 动态规划 (DP) ：在 DFS 的过程中，使用 dp 数组记录每个节点的最长递减路径长度。

     • 如果某个节点的最长递减路径长度已经计算过（即 dp[row][col] != -1），则直接返回该值，避免重复计算。

   • 遍历整个网格：对网格中的每个节点调用 DFS，并记录全局的最长递减路径长度。

3. 关键点：

   • 记忆化搜索：通过 dp 数组避免重复计算，提高效率。
   • 边界检查：在 DFS 过程中，确保相邻节点在网格内且值小于当前节点。

算法实现

我们使用一个嵌套的 for 循环来遍历整个网格，对每个节点调用 DFS 函数。DFS 函数会检查四个相邻节点，并递归调用自身，同时更新 dp 数组和最长路径长度。

测试与验证

通过提供的测试样例，我们可以验证算法的正确性。例如：

• solution(3, 3, [[9, 6, 4], [5, 6, 7], [2, 1, 1]]) 应该返回 5。
• solution(4, 4, [[10, 9, 8, 7], [6, 5, 4, 3], [7, 6, 5, 4], [8, 7, 6, 5]]) 应该返回 6。
• solution(2, 2, [[-1, -2], [-3, -4]]) 应该返回 3。

总结

这个问题通过结合深度优先搜索（DFS）和动态规划（DP）的方法，有效避免了重复计算，提高了算法的效率。记忆化搜索的使用使得每个节点只被计算一次，大大减少了计算量。同时，边界检查和路径递减条件的处理也确保了算法的正确性。通过合理的算法设计和实现，我们可以高效地解决最长递减路径的问题。