问题描述
小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 aiai，背面是 bibi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
题目解析
题目要求我们计算小M有多少种不同的方案可以选择卡牌的正反面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。这是一个典型的动态规划问题，我们可以通过维护一个状态数组来记录到达每个状态的可能性。
思路
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状态定义：定义一个二维数组
dp[i][j]，其中i表示考虑前i张卡牌，j表示当前所有卡牌向上的数字之和对3取模的结果。dp[i][j]的值表示到达这个状态的可能性数量。 -
状态转移方程：
- 对于每张卡牌，有两种选择：选择正面或背面。
- 如果选择正面，则当前状态
dp[i][j]转移到dp[i+1][(j + a[i-1]) % 3]。 - 如果选择背面，则当前状态
dp[i][j]转移到dp[i+1][(j + b[i-1]) % 3]。
-
初始化：
dp[0][0] = 1，表示没有卡牌时，和为0的可能性为1。 -
结果：最终结果为
dp[n][0]，表示使用所有卡牌后，和能被3整除的可能性数量。
图解
dp[i][j] 表示考虑前 i 张卡牌，和为 j 的可能性数量
dp[0][0] = 1
dp[1][0] = dp[0][0] + dp[0][1] + dp[0][2] (选择 a[0] 或 b[0])
dp[2][0] = dp[1][0] + dp[1][1] + dp[1][2] (选择 a[1] 或 b[1])
...
dp[n][0] = dp[n-1][0] + dp[n-1][1] + dp[n-1][2] (选择 a[n-1] 或 b[n-1])
代码详解
def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
MOD = 10**9 + 7
# 初始化 dp 数组
dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
dp[0][0] = 1
# 遍历每张卡牌
for i in range(1, n + 1):
for j in range(3):
# 选择正面
dp[i][(j + a[i - 1]) % 3] = (dp[i][(j + a[i - 1]) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD
# 选择背面
dp[i][(j + b[i - 1]) % 3] = (dp[i][(j + b[i - 1]) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD
# 返回和能被3整除的可能性数量
return dp[n][0]
知识总结
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动态规划：动态规划是一种解决序列问题的方法，通过维护一个状态数组来记录到达每个状态的可能性。
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取模运算：在计算过程中，为了避免整数溢出，可以使用取模运算。
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状态转移方程：根据问题的定义，推导出状态转移方程，是解决动态规划问题的关键。
学习建议
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理解动态规划的基本概念：动态规划是一种解决序列问题的方法，通过维护一个状态数组来记录到达每个状态的可能性。
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掌握状态转移方程的推导方法：状态转移方程是解决动态规划问题的关键，需要根据问题的定义进行推导。
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练习编程实现：通过编程实现动态规划问题，加深对动态规划的理解。
