和的逆运算问题 | 豆包 MarsCode AI 刷题

问题重述

n 个整数两两相加可以得到 n(n - 1) / 2 个和。根据这些和找出原来的 n 个整数。按非降序排序返回这 n 个数，如果无解，输出 "Impossible"。

思路分析

1. 排列组合：

   • 由于不知道 sums 列表中各个和对应哪两个原始整数的和，因此首先想到的是尝试 sums 列表的所有可能排列。
   • 使用 itertools.permutations 生成 sums 的所有排列，然后逐一检查每种排列是否可能对应到原始的整数序列。

2. 利用三元组推导：

   • 假设 x1, x2, ..., xn 是原始的整数序列。
   • 从 sums 的一个排列中，选取三个和 a, b, c（其中 c 可以是任意不与 a, b 同时作为原始整数对的和的和，例如，如果 sums 长度为 len(sums)，则可以选择 a = perm[0], b = perm[1], c = perm[len(sums)-1]）。
   • 假设 a = x1 + x2, b = x1 + x3，c = x2 + x3（注意：这里的假设是基于题目能够通过这种方式求解的隐含条件，实际上题目已经保证了存在这样的解）。
   • 通过这三个等式，可以解出 x1 = (a + b - c) // 2（注意要整除，这是判断当前排列是否可行的一个条件）。

3. 推导其他整数：

   • 一旦知道了 x1，就可以通过 sums 列表中的其他和来推导 x2, x3, ..., xn。
   • 对于 sums 中的每个和 s，如果它不等于 x1 + x1（即不是 x1 自加的和），那么它必然等于 x1 + xi（其中 xi 是某个未知的原始整数）。
   • 因此，可以通过 s - x1 得到 xi。

4. 验证：

   • 得到所有原始整数后，需要验证这些整数两两相加的和是否确实等于 sums 列表中的每个和。
   • 如果验证通过，则返回这些整数（按非降序排序）；如果验证失败，则继续检查下一个排列。

5. 返回结果：

   • 如果遍历了 sums 的所有排列后都没有找到可行的解，则返回 "Impossible"。

代码分析

1.生成排列并尝试推导原始整数

import itertools 
def solution(n, sums):
    for perm in itertools.permutations(sums):
        # perm[0] 是 x1 + x2, perm[1] 是 x1 + x3, perm[n-1] 是 x2 + x3
        x1 = (perm[0] + perm[1] - perm[n-1]) // 2
        x = [x1]
        for i in range(n-1):
            xi = perm[i] - x1
            x.append(xi)

• 使用itertools.permutations(sums)生成sums列表的所有排列，并通过循环遍历每个排列。
• 在每个排列中，我们假设perm[0]是x1 + x2，perm[1]是x1 + x3，而perm[n-1]是x2 + x3（这里的n-1是基于题目能够通过这种方式求解的隐含条件，即我们假设sums列表中至少包含这三个和，并且它们的排列能够让我们解出x1）。
• 通过这三个和，我们可以推导出x1 = (perm[0] + perm[1] - perm[n-1]) // 2。注意，这里使用了整除//，因为题目保证了这样的计算能够得到整数结果。
• 一旦得到了x1，我们就可以通过perm[i] - x1来推导其他原始整数xi，并将它们存储在列表x中。 2.验证推导结果并返回最终结果

        index = 0
        valid = True
        for i in range(n):
            for j in range(i+1, n):
                if x[i] + x[j] != perm[index]:
                    valid = False
                    break
                index += 1
            if not valid:
                break
        if valid:
            return " ".join(map(str, sorted(x)))
    return "Impossible"

• 我们定义了一个变量valid来标记当前推导的原始整数序列是否有效。
• 使用两个嵌套的循环来遍历推导出的原始整数序列x的所有可能的两两组合，并检查它们的和是否等于排列perm中的对应和。
• 如果发现任何不匹配的和，就将valid设置为False并跳出循环。
• 如果所有的和都匹配，即valid保持为True，则对推导出的原始整数序列x进行排序，并将其转换为字符串形式返回。
• 如果遍历了所有的排列都没有找到有效的原始整数序列，则返回"Impossible"。

总结

上述代码定义了一个函数solution，该函数接收两个参数：整数n和列表sums。它通过枚举sums的所有排列，尝试推导出n个原始整数。验证成功后，返回排序后的整数序列；若所有排列均不满足条件，则返回"Impossible"。