动态规划问题分享（六）| 豆包MarsCode AI刷题

小S的货船租赁冒险

问题描述

小S在码头租用货船，有 Q 种不同类型的货船可供选择。每种货船有固定的数量 m[i]、租赁成本 v[i] 和最大载货量 w[i]。小S希望在预算 V 元内，租用能够承载最大总货物的货船组合。每种货船的具体信息包括数量、租赁价格和载货量。小S需要你帮忙计算在给定预算下，她能租用的货船的最大总载货量是多少。

• Q: 货船的种类数量。
• V: 李华可用的总预算（单位：元）。
• ships: 一个列表，其中每个元素是一个元组 [m[i], v[i], w[i]]，分别表示第 i 种货船的数量、租赁价格和每艘货船的最大载货量。

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测试样例

样例1：

输入：Q = 2,V = 10,ships = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]] 输出：32

样例2：

输入：Q = 3,V = 50,ships = [[5, 10, 20], [2, 20, 30], [3, 15, 25]] 输出：100

样例3：

输入：Q = 1,V = 100,ships = [[10, 5, 50]] 输出：500

样例4：

输入：Q = 4,V = 100,ships = [[1, 100, 200], [2, 50, 100], [3, 33, 66], [4, 25, 50]] 输出：200

样例5：

输入：Q = 2,V = 300,ships = [[100, 1, 1], [50, 5, 10]] 输出：550

代码

def solution(Q, V, ships):
    dp = [[0] * (V + 1) for _ in range(Q + 1)]
    
    for i in range(1, Q + 1):
        m, v, w = ships[i - 1]
        for j in range(V + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            for k in range(1, m + 1):
                if j >= k * v:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v] + k * w)
    
    return dp[Q][V]

if __name__ == "__main__":
    #  You can add more test cases here
    ships = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]
    ships2 = [[30, 141, 47], [9, 258, 12], [81, 149, 13], [91, 236, 6], [27, 163, 74], [34, 13, 58], [61, 162, 1], [80, 238, 29], [36, 264, 28], [36, 250, 2], [70, 214, 31], [39, 116, 39], [83, 287, 4], [61, 269, 94], [23, 187, 46], [78, 33, 29], [46, 151, 2], [71, 249, 1], [67, 76, 85], [72, 239, 17], [61, 256, 49], [48, 216, 73], [39, 49, 74]]
    print(solution(2, 10, ships) == 32)
    print(solution(23, 400, ships2) == 1740)

代码思路

1. 问题理解：

   • 我们需要在给定的预算 V 内，选择不同类型的货船，使得总载货量最大化。
   • 每种货船有数量限制 m[i]，租赁成本 v[i]，和最大载货量 w[i]。

2. 数据结构选择：

   • 使用动态规划（DP）来解决这个问题。
   • 定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在前 i 种货船中，预算为 j 时的最大载货量。

3. 算法步骤：

   • 初始化 dp 数组，dp[0][j] 为 0，表示没有选择任何货船时的最大载货量为 0。
   • 对于每一种货船 i，遍历所有可能的预算 j：
     • 对于每种货船 i，再遍历其数量 k（从 1 到 m[i]）：
       • 如果当前预算 j 足够支付 k 艘货船的租赁成本 k * v[i]，则更新 dp[i][j] 为 dp[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i] 和 dp[i-1][j] 中的较大值。
   • 最终答案为 dp[Q][V]，即在前 Q 种货船中，预算为 V 时的最大载货量。

复杂度分析

• 时间复杂度：

  • 外层循环遍历 Q 种货船，内层循环遍历预算 V，最内层循环遍历每种货船的数量 m[i]。
  • 因此，时间复杂度为 O(Q * V * Σm[i])，其中 Σm[i] 是所有货船数量的总和。

• 空间复杂度：

  • 使用了一个二维数组 dp，大小为 (Q+1) * (V+1)。
  • 因此，空间复杂度为 O(Q * V)。

优化建议

• 如果 Q 和 V 较大，且 Σm[i] 也非常大，时间复杂度可能会很高。可以考虑使用更高效的算法或数据结构来优化。
• 例如，可以使用滚动数组来优化空间复杂度，或者使用更高级的动态规划技巧来减少时间复杂度。