问题描述
小R是一位生物学研究者，他正在研究DNA序列的变异和修复机制。在这项研究中，他需要一个算法来计算将一个受损的DNA序列（记为dna1）转换成一个未受损的DNA序列（记为dna2）所需的最少编辑步骤。这里的编辑步骤包括三种操作：增加一个碱基、删除一个碱基或替换一个碱基。小R的目标是找到将受损序列恢复到未受损状态的最短路径，这在生物学研究和基因工程中具有重要意义。
给定两个字符串dna1和dna2，小R需要计算出使dna1变成dna2的最少编辑步骤数。编辑步骤包括插入、删除和替换操作。
测试样例
- 输入：
dna1 = "AGT",dna2 = "AGCT"输出：1 - 输入：
dna1 = "AACCGGTT",dna2 = "AACCTTGG"输出：4 - 输入：
dna1 = "ACGT",dna2 = "TGC"输出：3 - 输入：
dna1 = "A",dna2 = "T"输出：1 - 输入：
dna1 = "GGGG",dna2 = "TTTT"输出：4
思路解析
这个问题可以通过动态规划的方法来解决。我们可以创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示将dna1的前i个碱基转换成dna2的前j个碱基所需的最少编辑步骤。我们可以通过比较dna1和dna2的相应碱基来填充这个数组，如果它们相同，则不需要编辑步骤；如果不同，则需要考虑插入、删除或替换操作。
动态规划的状态转移方程如下：
- 如果
dna1[i-1]等于dna2[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1]（不需要额外步骤）。 - 如果它们不相等，则
dp[i][j] = min(dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1, dp[i-1][j-1] + 1)，分别对应插入、删除和替换操作。
最优方案
最优方案是构建一个动态规划表，通过填充这个表来找到从dna1到dna2的最短编辑路径。这个表的构建过程是从两个序列的开始到结束，逐步计算每个位置的最小编辑步骤。
解题步骤
- 初始化一个大小为
(len(dna1)+1) x (len(dna2)+1)的二维数组dp，dp[i][j]表示dna1的前i个碱基到dna2的前j个碱基的最少编辑步骤。 - 填充
dp的第一行和第一列，因为它们代表从一个空序列到另一个序列的编辑步骤。 - 遍历
dna1和dna2，使用状态转移方程填充dp表。 dp[len(dna1)][len(dna2)]就是将dna1转换成dna2所需的最少编辑步骤。
复杂度分析
时间复杂度：O(len(dna1) * len(dna2))。我们需要填充一个二维数组，其大小与两个序列的长度成比例。
空间复杂度：O(len(dna1) * len(dna2))。动态规划表的大小与两个序列的长度成比例，因此空间复杂度也是二次的。如果空间是限制因素，可以考虑使用滚动数组的方法来优化空间复杂度。
