动态规划知识总结 | 豆包MarsCode AI刷题

动态规划概述

动态规划是一种算法策略，用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。它通过将问题分解为更小的子问题，并将这些子问题的解存储起来，避免重复计算，从而提高效率。动态规划通常用于求解最优化问题，如最短路径、最大子序列和等。

动态规划的核心概念

1. 重叠子问题：问题可以分解为多个子问题，而这些子问题会重复出现。例如，在斐波那契数列中，每个数都是前两个数的和，这就是一个典型的重叠子问题。
2. 最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解。例如，在求最大子数组和问题中，整个数组的最大子数组和可以由其子数组的最大子数组和构成。
3. 记忆化：为了避免重复计算，动态规划会存储已经解决的子问题的解，这个过程称为记忆化。在编程实现中，通常使用数组或哈希表来存储这些解。

动态规划的解题步骤

1. 确定状态：定义问题的阶段，以及每个阶段的状态。状态通常表示为dp[i]，其中i表示当前阶段。
2. 确定状态转移方程：找出状态之间的关系，即如何从一个阶段的状态得到下一个阶段的状态。这是动态规划解题的关键。
3. 确定边界条件：明确问题的基本情况，即当问题规模最小时的解。
4. 填表：按照一定的顺序（通常是从小到大）计算所有状态的值，直到得到最终结果。

动态规划的应用实例

以背包问题为例，这是一个典型的动态规划问题。问题描述为：给定一组物品，每个物品有重量和价值，以及一个背包的承载能力，求能够装入背包的物品的最大价值。解决这个问题的关键在于定义状态dp[i][j]表示考虑前i个物品，背包容量为j时的最大价值，并通过状态转移方程来填充这个二维数组。

学习建议

对于入门同学，建议从简单的动态规划问题开始，如斐波那契数列、爬楼梯问题等，逐步过渡到更复杂的问题。在解决每个问题时，重点理解状态的定义和状态转移方程的推导。同时，多练习、多总结，通过实际编码来加深对动态规划概念的理解。