题目解析：数组中相邻元素最大矩形面积| 豆包MarsCode AI刷题

题目解析：数组中相邻元素最大矩形面积

题目描述
本题要求计算一个高度数组中任意 k 个相邻元素形成的矩形的最大面积。矩形的高度取决于这 k 个相邻元素中的最小值，面积计算公式为：

R(k)=k×min⁡(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])R(k) = k \times \min(h[i], h[i+1], ..., h[i+k-1])

我们需要找到所有可能的 k 值的矩形面积，最终返回其中的最大值。

测试样例分析

• 样例 1：n = 5, array = [1, 2, 3, 4, 5]

  • 最大矩形面积出现在 k=3 时，对应区域 [3, 4, 5]，最小高度为 3，面积为 3 × 3 = 9。

• 样例 2：n = 6, array = [5, 4, 3, 2, 1, 6]

  • 最大矩形面积出现在 k=3 时，对应区域 [3, 2, 1]，最小高度为 3，面积为 3 × 3 = 9。

• 样例 3：n = 4, array = [4, 4, 4, 4]

  • 无论选择哪段区域，最小高度始终为 4，最大矩形面积为 4 × 4 = 16。

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解题思路

这道题可以通过暴力方法解决，但暴力方法的时间复杂度较高。为提高效率，我们可以采用优化思路，如单调栈来快速计算每个高度所能支撑的最大宽度。

方法一：暴力枚举

1. 遍历所有可能的 k（相邻元素的数量）。
2. 对于每个 k，计算所有可能的起始位置 i，统计对应区间的最小高度。
3. 计算面积并更新最大值。

• 时间复杂度：
  外层 k 循环为 O(n)O(n)，内层 i 循环为 O(n−k+1)O(n-k+1)，且每次区间计算最小值需要 O(k)O(k)。
  总体时间复杂度为 O(n3)O(n^3)。
• 适用场景：小规模数组。

方法二：单调栈优化

使用单调栈快速计算每个高度所能扩展的最大宽度，从而避免重复计算：

1. 对于每个柱子高度，找到其左侧和右侧最近的比它低的柱子位置。
2. 计算每个柱子作为最小高度时的最大矩形面积。

• 时间复杂度：
  单调栈处理时间为 O(n)O(n)。
  总体时间复杂度为 O(n)O(n)。
• 适用场景：大规模数组。

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代码详解

方法一：暴力枚举

def solution(n, array):
    max_area = 0
    # 遍历所有可能的 k
    for k in range(1, n + 1):
        # 遍历所有可能的起始位置 i
        for i in range(n - k + 1):
            # 计算 k 个相邻元素的最小高度
            min_height = min(array[i:i + k])
            # 计算当前面积
            current_area = k * min_height
            # 更新最大面积
            max_area = max(max_area, current_area)
    return max_area

# 测试用例
print(solution(5, [1, 2, 3, 4, 5]))  # 输出 9
print(solution(6, [5, 4, 3, 2, 1, 6]))  # 输出 9
print(solution(4, [4, 4, 4, 4]))  # 输出 16

方法二：单调栈

def solution_optimized(n, array):
    # 在数组左右添加两个哨兵，用于简化边界计算
    array = [0] + array + [0]
    stack = []
    max_area = 0

    for i in range(len(array)):
        # 当当前柱子高度小于栈顶高度时，计算栈顶的最大面积
        while stack and array[i] < array[stack[-1]]:
            height = array[stack.pop()]
            width = i - stack[-1] - 1
            max_area = max(max_area, height * width)
        stack.append(i)

    return max_area

# 测试用例
print(solution_optimized(5, [1, 2, 3, 4, 5]))  # 输出 9
print(solution_optimized(6, [5, 4, 3, 2, 1, 6]))  # 输出 9
print(solution_optimized(4, [4, 4, 4, 4]))  # 输出 16

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知识总结

1. 单调栈的基本概念

单调栈是一种用于解决区间范围问题的高效数据结构。它的核心思想是通过维护一个单调递增或递减的栈，快速找到左侧和右侧的限制条件。

• 典型应用：

  • 柱状图中的最大矩形面积问题；
  • 求滑动窗口的最大值。

2. 区间最小值的高效处理

在暴力解法中，每次都需要重新计算区间的最小值，效率低下。而单调栈能够快速确定每个高度的扩展范围，从而避免重复计算。

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学习建议与刷题计划

1. 刷题计划

   • 每周练习 2-3 道涉及区间问题的题目（如柱状图最大面积、滑动窗口最大值）。
   • 重点掌握单调栈的使用，包括其思想和应用场景。

2. 高效学习方法

   • 分步骤学习：从暴力解法入手，逐步优化，理解每个优化步骤的意义。
   • 总结模板：通过多次练习总结单调栈的通用模板，方便后续应用。

3. 错题复盘

   • 针对时间复杂度过高或思路不清晰的解法，复盘问题所在，并重新设计思路。

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工具运用

1. 借助豆包MarsCode AI

   • 使用题库分类功能，集中练习“单调栈”相关题目。
   • 借助解析功能，理解题目的核心思想与高效解法。

2. 结合其他资源

   • LeetCode、书籍《算法导论》等资源补充相关理论知识。
   • 使用可视化工具（如在线栈模拟器）直观理解单调栈的运行过程。

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总结

通过这道题目，我们掌握了：

1. 单调栈在区间问题中的高效应用；
2. 如何逐步优化暴力解法并降低时间复杂度；
3. 结合工具与学习资源，形成高效的刷题方法。

未来可以继续在类似问题中巩固这些知识，并尝试将单调栈的思想迁移到更多复杂场景中，提升算法能力！