优化青海湖至景点X的租车路线成本
问题描述
小F计划从青海湖出发，前往一个遥远的景点X进行旅游。景点X可能是“敦煌”或“月牙泉”，线路的路径是唯一的。由于油价的不断上涨，小F希望尽量减少行程中的燃油成本。车辆的油箱容量为400L，在起始点租车时，车内剩余油量为 200L。每行驶 1km 消耗 1L 油。沿途设有多个加油站，小F可以在这些加油站补充燃油；此外，到达目标景点X还车的时候，需要保证车内剩余的油至少有 200L。
小F需要你帮助他计算，如果合理规划加油站的加油顺序和数量，最小化从青海湖到景点X的旅行成本（元）。
输入：
- distance：从青海湖到景点X的总距离（km），距离最远不超过 10000 km。
- n：沿途加油站的数量 (1 <= n <= 100)
- gas_stations：每个加油站的信息，包含两个非负整数 [加油站距离起始点的距离（km）, 该加油站的油价（元/L）]
输出：
- 最小化从青海湖到景点X的旅行成本（元）。如果无法到达景点X，或者到达景点X还车时油料剩余不足 200L，则需要返回
-1告诉小F这是不可能的任务。
测试样例
样例1：
输入：
distance = 500, n = 4, gas_stations = [[100, 1], [200, 30], [400, 40], [300, 20]]输出：4300
样例2：
输入：
distance = 1000, n = 3, gas_stations = [[300, 25], [600, 35], [900, 5]]输出：-1
样例3：
输入：
distance = 200, n = 2, gas_stations = [[100, 50], [150, 45]]输出：9000
样例4：
输入：
distance = 700, n = 5, gas_stations = [[100, 10], [200, 20], [300, 30], [400, 40], [600, 15]]输出：9500
样例5：
输入：
distance = 50, n = 1, gas_stations = [[25, 100]]输出：5000
代码解答
def solution(distance, n, gas_stations):
gas_stations = [[0, 0]] + gas_stations + [[distance, 0]]
n += 2
gas_stations.sort(key=lambda x: x[0])
dp = [[float('inf')] * 401 for _ in range(n)]
dp[0][200] = 0
for i in range(1, n):
dist = gas_stations[i][0] - gas_stations[i-1][0]
price = gas_stations[i][1]
stop = True
if i == n-1:
if 200 + dist <= 400:
return dp[i-1][200+dist]
else:
return -1
for j in range(401):
if dp[i-1][j] != float('inf') and j >= dist:
dp[i][j - dist] = min(dp[i][j - dist], dp[i-1][j])
for k in range(401 - (j - dist)):
dp[i][j - dist + k] = min(dp[i][j - dist + k], dp[i][j - dist] + k * price)
stop = False
if stop:
return -1
return -1
if __name__ == "__main__":
# 测试样例
gas_stations1 = [(100, 1), (200, 30), (400, 40), (300, 20)]
gas_stations2 = [(300, 25), (600, 35), (900, 5)]
gas_stations3 = [(100, 50), (150, 45)]
gas_stations4 = [(100, 10), (200, 20), (300, 30), (400, 40), (600, 15)]
gas_stations5 = [(25, 100)]
print(solution(500, 4, gas_stations1) == 4300)
print(solution(1000, 3, gas_stations2) == -1)
print(solution(200, 2, gas_stations3) == 9000)
print(solution(700, 5, gas_stations4) == 9500)
print(solution(50, 1, gas_stations5) == 5000)
代码思路
-
初始化加油站列表：
- 在
gas_stations列表的开头和结尾分别添加一个虚拟加油站，距离为0和目标距离，油价为0。这样做的目的是为了简化边界条件的处理。 - 将加油站列表按照距离进行排序。
- 在
-
动态规划数组初始化：
- 创建一个二维数组
dp，其中dp[i][j]表示到达第i个加油站时，油箱剩余j升油的最小成本。 - 初始化
dp[0][200]为0，表示在起始点油箱剩余200升油的成本为0。
- 创建一个二维数组
-
动态规划状态转移：
- 遍历每个加油站
i，计算从上一个加油站到当前加油站的距离dist和当前加油站的油价price。 - 对于每个可能的油量
j，如果可以从上一个加油站到达当前加油站（即j >= dist），则更新dp[i][j - dist]为dp[i-1][j]。 - 进一步，对于每个可能的加油量
k，更新dp[i][j - dist + k]为dp[i][j - dist] + k * price，表示在当前加油站加k升油的成本。
- 遍历每个加油站
-
边界条件处理：
- 如果到达最后一个加油站时，油量不足以到达目标地点（即
200 + dist > 400），则返回-1。 - 如果无法从上一个加油站到达当前加油站，则返回
-1。
- 如果到达最后一个加油站时，油量不足以到达目标地点（即
-
返回结果：
- 如果能够到达目标地点，返回
dp[n-1][200 + dist]，即到达目标地点且油量剩余200升的最小成本。
- 如果能够到达目标地点，返回
注意
- 该算法的时间复杂度为
O(n * 400^2)，其中n是加油站的数量。 - 空间复杂度为
O(n * 400)，用于存储动态规划数组。
