刷题（1） | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小M是一个五年级的小学生，今天他学习了整除的知识，想通过一些练习来巩固自己的理解。他写下了一个长度为n的正整数序列 a_0，a_1，...，a_{n-1}，然后想知道有多少个连续子序列的和能够被一个给定的正整数 b 整除。你能帮小M解决这个问题吗?

测试样例

样例1： 输入:n=3,b=3,sequence =[1，2，3] 输出:3

样例2： 输入:n=4,b=5,sequence=[5，10，15，20] 输出:10

样例3： 输入:n=5,b=2,sequence =[1，2，3，4，5] 输出:6

解题思路

给定序列中任意连续子序列之和

• 定义前i个元素之和为pre_sum[i]，因此，任意一个连续子序列之和为

• 要使sum(i,j)能够被b整除，对公式进行变化可得

字典查询

• dict{}：通过key访问字典，当key不存在时，会引发keyError异常。
• defaultdict()：为字典提供一个默认值，当key不存在时，默认添加该key，int 对应 0，str 对应 空字符串，list 对应 [ ]。

统计同余的次数

• 遍历整个序列，计算每前i个元素的序列和与b的模值，即pre_sum[i] % b。
• 使用哈希表（字典）count来记录每个模值出现的次数。
• 当在位置i处遇到某个模值value时，意味着之前所有与value相同的模值对应的位置都可以形成一个满足条件的子序列。

计算结果

• 对于每个模值value，如果它在前面已经出现过count[value]次，那么以当前位置为结束位置，并且和能被b整除的子序列的个数就增加了count[value]。

算法流程

• 初始化：

  • 创建一个defaultdict(int)类型的哈希表count，用于统计每个模值出现的次数。
  • 将count[0]初始化为1，可以推算，第一次模b=0时不需要配对。

• 遍历序列并计算前i个元素的序列和：

  • 初始化pre_sum为0，用于累加当前的前i个元素的序列和。
  • 初始化结果result为0。

• 更新哈希表并计算结果：

  • 对于序列中的每个元素num：

    • 更新前缀和：pre_sum += num。
    • 计算当前前缀和的模值：value = pre_sum % b。
    • 将count[value]累加到结果result中。
    • 更新count[value]的计数：count[value] += 1。

• 返回结果： 最终，result即为满足条件的连续子序列的个数。

代码实现

from collections import defaultdict

def solution(n, b, sequence):
    # 用字典记录 所有前i个连续子序列之和 对b的模值 出现的次数
    count = defaultdict(int)
    count[0] = 1  # 初始时，模为0的次数定义为1，可以自己推算
    pre_sum = 0
    result = 0
    
    for num in sequence:
        # 更新当前的序列和
        pre_sum += num
        # 当前序列和 模b 的值
        value = pre_sum % b
        
        # 计算当前模值出现的次数，说明有多少个子序列的和能被b整除
        result += count[value]
        
        # 更新value的出现次数
        count[value] += 1
    
    return result

if __name__ == "__main__":
    sequence = [1, 2, 3]
    print(solution(3, 3, sequence) == 3)

算法复杂度分析

• 时间复杂度：

  • 算法主要遍历了一次序列，时间复杂度为O(n)。
  • 在循环中，所有操作都是常数时间的。
  • 总时间复杂度： O(n)。

• 空间复杂度：

  • 使用了一个哈希表count，最坏情况下，模值的数量为b。
  • 总空间复杂度： O(min(n, b))。

总结

通过使用公式解析和和哈希表，将问题的复杂度降低到O(n)。算法利用了同余的性质，将连续子序列和能被b整除的问题，转换为序列和模值相等的问题。这样，我们只需统计序列和模值相同的次数，即可求出满足条件的子序列数量。