动态规划问题分享（一）| 豆包MarsCode AI刷题

徒步旅行中的补给问题

问题描述

小R正在计划一次从地点A到地点B的徒步旅行，总路程需要 N 天。为了在旅途中保持充足的能量，小R每天必须消耗1份食物。幸运的是，小R在路途中每天都会经过一个补给站，可以购买食物进行补充。然而，每个补给站的食物每份的价格可能不同，并且小R最多只能同时携带 K 份食物。

现在，小R希望在保证每天都有食物的前提下，以最小的花费完成这次徒步旅行。你能帮助小R计算出最低的花费是多少吗？

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测试样例

样例1：

输入：n = 5 ,k = 2 ,data = [1, 2, 3, 3, 2] 输出：9

样例2：

输入：n = 6 ,k = 3 ,data = [4, 1, 5, 2, 1, 3] 输出：9

样例3：

输入：n = 4 ,k = 1 ,data = [3, 2, 4, 1] 输出：10

代码解答

def solution(n, k, data):
    dp = [[float('inf')] * k for _ in range(n)]
    for i in range(0, k):
        dp[0][i] = data[0] * (i + 1)
    for i in range(0, n - 1):
        for j in range(0, k):
            if j == 0:
                for l in range(0, k):
                    dp[i + 1][l] = min(dp[i + 1][l], dp[i][j] + data[i + 1] * (l + 1))
            else:
                for l in range(j - 1, k):
                    dp[i + 1][l] = min(dp[i + 1][l], dp[i][j] + data[i + 1] * (l - j + 1))
            
    return dp[n-1][0]

if __name__ == "__main__":
    print(solution(5, 2, [1, 2, 3, 3, 2]) == 9)
    print(solution(6, 3, [4, 1, 5, 2, 1, 3]) == 9)
    print(solution(4, 1, [3, 2, 4, 1]) == 10)

代码思路

让我们来详细分析一下这个问题的解题思路。

问题理解

小R需要在 N 天内完成从地点A到地点B的徒步旅行，每天需要消耗1份食物。每天经过一个补给站，可以购买食物，但最多只能携带 K 份食物。每个补给站的食物价格可能不同，目标是找到最小的总花费。

数据结构选择

我们可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决这个问题。动态规划的核心思想是将问题分解为子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算。

算法步骤

1. 定义状态：

   • 使用一个二维数组 dp[i][j]，其中 i 表示第 i 天，j 表示第 i 天结束时携带的食物数量。dp[i][j] 表示在第 i 天结束时携带 j 份食物的最小花费。

2. 初始化：

   • 对于第0天，初始化 dp[0][j]，表示在第0天结束时携带 j 份食物的最小花费。由于第0天没有食物消耗，所以 dp[0][j] 的值为 data[0] * (j + 1)。

3. 状态转移：

   • 对于每一天 i，我们需要考虑前一天 i-1 结束时携带的食物数量 j，以及当天购买的食物数量 l。
   • 如果前一天结束时携带的食物数量为 j，那么当天结束时携带的食物数量可以是 l，其中 l 的范围是从 j-1 到 K。
   • 状态转移方程为：dp[i][l] = min(dp[i][l], dp[i-1][j] + data[i] * (l - j + 1))。

4. 结果：

   • 最终结果是 dp[N-1][0]，即在第 N-1 天结束时携带0份食物的最小花费。

总结

通过动态规划，我们可以有效地计算出在每天都有食物的前提下，完成徒步旅行的最小花费。这个方法的时间复杂度为 O(N * K^2)，空间复杂度为 O(N * K)。