动态规划问题分享（三）| 豆包MarsCode AI刷题

及格的组合方式探索

问题描述

小S在学校选择了3门必修课和n门选修课程来响应全面发展的教育政策。现在期末考核即将到来，小S想知道他所有课程的成绩有多少种组合方式能使他及格。及格的条件是所有课程的平均分不低于60分。每门课程的成绩是由20道选择题决定，每题5分，答对得分，答错不得分。为了计算方便，你需要将结果对202220222022取模。

测试样例

样例1：

输入：n = 3 输出：'19195617'

样例2：

输入：n = 6 输出：'135464411082'

样例3：

输入：n = 49 输出：'174899025576'

样例4：

输入：n = 201 输出：'34269227409'

样例5：

输入：n = 888 输出：'194187156114'

编辑区代码

def solution(n):
    MOD = 202220222022
    dp = [[0] * (20 * (n + 3) + 1) for _ in range(n + 4)]

    for k in range(21):
        dp[1][k] = 1
    
    for i in range(1, n + 3):
        for j in range(20 * (n + 3) + 1):
            if dp[i][j] > 0:
                for k in range(21):
                    dp[i + 1][j + k] = (dp[i + 1][j + k] + dp[i][j]) % MOD
            else:
                break
    
    result = 0
    for avg in range(12 * (n + 3), 20 * (n + 3) + 1):
        result = (result + dp[3 + n][avg]) % MOD

    return str(result)

if __name__ == "__main__":
    # 测试样例
    print(solution(3) == "19195617")
    print(solution(6) == "135464411082")
    print(solution(49) == "174899025576")
    print(solution(201) == "34269227409")
    print(solution(888) == "194187156114")

代码思路

1. 问题理解：

   • 小S有3门必修课和n门选修课，每门课的成绩由20道选择题决定，每题5分。
   • 需要计算所有课程成绩的组合方式，使得平均分不低于60分（即总分不低于60 * (n + 3)分）。
   • 结果需要对202220222022取模。

2. 数据结构选择：

   • 使用动态规划（DP）来解决组合问题。
   • 定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i门课程总分为j的组合数。

3. 算法步骤：

   • 初始化：
     • 对于第一门课程，所有可能的分数（0到100分）的组合数都为1。
   • 状态转移：
     • 对于每一门课程i，遍历所有可能的总分j。
     • 如果dp[i][j]大于0，则对于下一门课程，尝试所有可能的分数增加（0到100分），并更新dp[i+1][j+k]。
   • 结果计算：
     • 计算所有课程总分在及格线以上的组合数，并累加结果。
     • 最终结果对202220222022取模。

4. 优化：

   • 由于每门课程的分数范围是固定的（0到100分），可以通过动态规划有效地计算组合数。
   • 使用取模操作避免数值溢出。