AI刷题丨最大矩形面积问题

先让ai给个题解:
我们需要找到一个方法来计算对于任意 𝑘k，由 𝑘k 个相邻元素形成的矩形的最大面积 𝑅(𝑘)R(k) 的最大值。这个问题可以通过动态规划来解决。

首先，我们定义一个数组 𝑑𝑝[𝑖][𝑗]dp[i][j] 来表示以 ℎ[𝑖]h[i] 结尾的连续 𝑗j 个元素的最小高度乘以 𝑗j 的值。我们的目标是找到所有 𝑑𝑝[𝑖][𝑗]dp[i][j] 中的最大值。

我们可以通过以下步骤来填充 𝑑𝑝dp 数组：

1. 初始化 𝑑𝑝[𝑖][1]=ℎ[𝑖]dp[i][1]=h[i]，因为单个元素的矩形面积就是它本身的高度。
2. 对于每个 𝑗j 从 2 到 𝑛n，更新 𝑑𝑝[𝑖][𝑗]dp[i][j] 为 min⁡(ℎ[𝑖],ℎ[𝑖−1],…,ℎ[𝑖−𝑗+1])×𝑗min(h[i],h[i−1],…,h[i−j+1])×j。
3. 同时，我们需要更新 𝑑𝑝[𝑖][𝑗]dp[i][j] 为 max⁡(𝑑𝑝[𝑖][𝑗],𝑑𝑝[𝑖−1][𝑗],𝑑𝑝[𝑖−1][𝑗−1]+ℎ[𝑖]×(𝑗−1))max(dp[i][j],dp[i−1][j],dp[i−1][j−1]+h[i]×(j−1))，以确保我们考虑了所有可能的连续子数组。

最后，我们遍历整个 𝑑𝑝dp 数组，找到最大的值。
ai选择用动态规划解,但是我选择用单调栈求解:

def solution(n, array):
    max_area = 0
    stack = []
    array = [0] + array + [0]  # 添加虚拟的0以便处理边界情况

    for i, h in enumerate(array):
        while stack and array[stack[-1]] > h:
            height = array[stack.pop()]
            j = i - stack[-1] - 1 if stack else i
            max_area = max(max_area, height * j)
        stack.append(i)

    return max_area

if __name__ == "__main__":
    # Add your test cases here
    print(solution(5, [1, 2, 3, 4, 5]) == 9)
    print(solution(6, [5, 4, 3, 2, 1, 6]) == 9)
    print(solution(4, [4, 4, 4, 4]) == 16)

1. 初始化：创建一个空栈，用于存储索引，以及一个数组来存储每个元素左边第一个比它大的元素的索引，另一个数组来存储每个元素右边第一个比它小的元素的索引。
2. 填充左边索引数组：从左到右遍历数组，对于每个元素，如果栈为空或者栈顶元素对应的高度大于当前元素的高度，将当前索引入栈。如果栈顶元素对应的高度小于或等于当前元素的高度，弹出栈顶元素，直到栈为空或者栈顶元素对应的高度大于当前元素的高度。当前元素的左边索引是栈顶元素的索引。
3. 填充右边索引数组：从右到左遍历数组，对于每个元素，如果栈为空或者栈顶元素对应的高度小于当前元素的高度，将当前索引入栈。如果栈顶元素对应的高度大于或等于当前元素的高度，弹出栈顶元素，直到栈为空或者栈顶元素对应的高度小于当前元素的高度。当前元素的右边索引是栈顶元素的索引。
4. 计算最大面积：对于每个元素 ℎ[𝑖]h[i]，计算以 ℎ[𝑖]h[i] 为最小高度的 𝑘k 个相邻元素的最大面积。这可以通过检查 ℎ[𝑖]h[i] 左边和右边的索引来完成。对于每个可能的 𝑘k，计算 𝑅(𝑘)=𝑘×ℎ[𝑖]R(k)=k×h[i]，并更新最大面积。
5. 返回最大面积：在所有元素和所有可能的 𝑘k 中找到的最大面积就是答案。