每日一水(卡牌翻面求和问题) | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 aiai​，背面是 bibi​。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。

例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。

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测试样例

样例1：

输入：n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3

样例2：

输入：n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6

样例3：

输入：n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32

题目理解

题目要求我们通过选择每张卡牌的一面（正面或背面），使得所有向上的数字之和可以被3整除。我们需要计算满足这个条件的所有可能方案的数量，并对结果取模 (10^9 + 7)。

数据结构与算法选择

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）。具体来说，我们可以定义一个二维的DP数组 dp[i][j]，其中：

• i 表示前 i 张卡牌。
• j 表示当前所有卡牌的数字之和对3取余的结果。

dp[i][j] 表示前 i 张卡牌的数字之和对3取余为 j 的方案数。

算法步骤

1. 初始化：

   • dp[0][0] = 1，表示0张卡牌时，数字之和为0的方案数为1。

2. 状态转移：

   • 对于每一张卡牌 i，计算其正面和背面的数字对3的余数 a_mod 和 b_mod。

   • 更新 dp 数组：

     • 如果选择第 i 张卡牌的正面，则 dp[i][(j + a_mod) % 3] 需要加上 dp[i-1][j]。
     • 如果选择第 i 张卡牌的背面，则 dp[i][(j + b_mod) % 3] 需要加上 dp[i-1][j]。

3. 结果：

   • 最终结果为 dp[n][0]，即前 n 张卡牌的数字之和对3取余为0的方案数。

代码解析

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
int solution(int n, std::vector<int> a, std::vector<int> b) {
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3, 0));
    dp[0][0] = 1; // 初始状态，0张卡牌，数字之和为0的方案数为1

    // 遍历每一张卡牌
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        // 计算当前卡牌正面和背面的数字对3的余数
        int a_mod = a[i - 1] % 3;
        int b_mod = b[i - 1] % 3;

        // 更新dp数组
        for (int j = 0; j < 3; ++j) {
            // 选择正面的情况
            dp[i][(j + a_mod) % 3] = (dp[i][(j + a_mod) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
            // 选择背面的情况
            dp[i][(j + b_mod) % 3] = (dp[i][(j + b_mod) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
        }
    }

    // 返回前n张卡牌，数字之和对3取余为0的方案数
    return dp[n][0];
}

int main() {
    std::cout << (solution(3, {1, 2, 3}, {2, 3, 2}) == 3) << std::endl;
    std::cout << (solution(4, {3, 1, 2, 4}, {1, 2, 3, 1}) == 6) << std::endl;
    std::cout << (solution(5, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}) == 32) << std::endl;
    return 0;
}

1. 初始化：

   • dp[0][0] = 1，表示0张卡牌时，数字之和为0的方案数为1。

2. 状态转移：

   • 对于每一张卡牌 i，计算其正面和背面的数字对3的余数 a_mod 和 b_mod。

   • 更新 dp 数组：

     • dp[i][(j + a_mod) % 3] = (dp[i][(j + a_mod) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
     • dp[i][(j + b_mod) % 3] = (dp[i][(j + b_mod) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;

3. 结果：

   • 最终结果为 dp[n][0]，即前 n 张卡牌的数字之和对3取余为0的方案数。

总结

通过动态规划，我们可以有效地计算出满足条件的方案数。代码中的 dp 数组记录了每一步的状态，最终返回 dp[n][0] 即为所求的结果。