学习方法与心得：解析骑士拨号问题
一、题目解析与解决思路
题目背景
“骑士拨号问题”是一道与图遍历和动态规划相关的经典题目。题目描述了一名骑士在一个 3x4 的键盘上按照国际象棋中的“马”跳跃规则，拨打电话号码的过程。目标是计算骑士在给定跳跃次数下，可以拨打的不同电话号码数量。
这一问题看似简单，但背后涉及路径规划、图的遍历和优化算法，是学习动态规划的重要案例。
解题思路
1. 问题建模
骑士的跳跃可以看成一个图的遍历问题，每个数字是图中的一个节点，跳跃规则决定了节点之间的边。例如，数字 1 可以跳到 6 和 8，对应的是从 1 到 6、8 的边。
2. 动态规划思想
我们可以利用动态规划的状态转移思想来解决：
- 定义状态
dp[k][i]表示以数字i结尾的、长度为k的电话号码数量。 - 初始状态：
dp[1][i] = 1（长度为 1 时，每个数字都可以作为单独的电话号码）。 - 状态转移：长度为
k的号码可以通过长度为k-1的号码延伸而来。具体公式为： [ dp[k][i] = \sum_{j \in moves[i]} dp[k-1][j] ] 其中moves[i]是从数字i出发可以跳到的所有数字集合。
3. 模运算处理大数
由于结果可能非常大，我们需要对 (10^9 + 7) 取模，保证计算不会溢出。
具体代码
public static int solution(int n) {
// 定义跳跃规则
int[][] moves = {
{4, 6}, // 0
{6, 8}, // 1
{7, 9}, // 2
{4, 8}, // 3
{0, 3, 9}, // 4
{}, // 5 (不可到达)
{0, 1, 7}, // 6
{2, 6}, // 7
{1, 3}, // 8
{2, 4} // 9
};
int MOD = 1_000_000_007; // 模数
int[][] dp = new int[n + 1][10]; // 动态规划数组
// 初始化：长度为1的情况
for (int i = 0; i <= 9; i++) {
dp[1][i] = 1;
}
// 动态规划递推
for (int k = 2; k <= n; k++) {
for (int i = 0; i <= 9; i++) {
dp[k][i] = 0; // 初始化当前长度的值
for (int move : moves[i]) {
dp[k][i] = (dp[k][i] + dp[k - 1][move]) % MOD;
}
}
}
// 汇总结果
int result = 0;
for (int i = 0; i <= 9; i++) {
result = (result + dp[n][i]) % MOD;
}
return result;
}
二、知识总结与学习心得
1. 图的遍历与建模
本题核心在于将数字键盘建模为一个图，每个数字是节点，跳跃规则决定了节点之间的连接关系。这种建模能力对解决更复杂的路径问题非常有帮助。
2. 动态规划的状态设计
在动态规划中，设计状态和状态转移是关键。通过状态 dp[k][i] 表达当前路径的局部解，避免重复计算，是动态规划的核心思想。
3. 大数取模的必要性
在类似的问题中，结果可能快速增长。提前考虑模运算，不仅可以防止溢出，还可以提高效率。
三、学习计划与高效刷题方法
1. 制定目标与计划
- 目标分解：针对骑士拨号问题，我将动态规划问题分为入门（简单的线性问题）到高级（多状态问题）逐步攻克。
- 时间规划：每天花 1 小时刷题，集中训练动态规划和图论两类问题。
2. 善用错题与总结
- 错题整理：将自己出错的题目分类整理，例如是状态转移出错还是边界条件没处理好。
- 知识点总结：通过刷题记录总结动态规划的模板和图遍历的常见技巧。
3. AI 工具结合学习
- 代码调试：通过 MarsCode AI，快速发现代码问题并优化效率。
- 知识拓展：利用 AI 提供的题解功能，学习多种解法并比较优劣。
四、学习建议
- 理解题目是关键：不要急于动手写代码，先将题目抽象为模型，明确核心问题。
- 动态规划要多练：状态设计、转移公式和边界条件处理是动态规划的重点。
- 善用工具辅助：AI 刷题工具不仅能提供高质量题目，还能帮助理解解题思路。
通过坚持不懈地训练和总结，骑士拨号问题不仅帮助我提升了解题能力，更让我掌握了动态规划和图遍历的核心技能。
