豆包MarsCode AI 刷题 | 几何游戏之回旋镖点判断
在计算几何领域，我们常常会遇到各种有趣的点与线的问题。其中一个经典问题就是判断三个点是否共线。今天我们将探讨一个相关的题目，判断三个二维平面上的点是否构成一个回旋镖。所谓回旋镖即三点不在一条直线上，并且这三个点彼此不同。
题目描述
小M正在玩一个几何游戏，给定一个二维平面上的三个点 points，其中每个点用坐标 points[i] = [xi, yi] 表示。如果三点构成一个回旋镖，则返回 true。回旋镖的定义是三点不在一条直线上，并且这三个点互不相同。
输入
points：二维平面上的三个点组成的数组。
输出
- 布尔值：如果构成回旋镖，返回
true；否则返回false。
测试样例
样例1：
输入：points = [[1, 1], [2, 3], [3, 2]]
输出：True
样例2：
输入：points = [[1, 1], [2, 2], [3, 3]]
输出：False
样例3：
输入：points = [[0, 0], [1, 1], [1, 0]]
输出：True
思路解析
解决这个问题的关键在于判断三点是否在一条直线上。几何学中，判断三个点是否共线的方法通常是利用向量的叉积。
1. 批准向量的叉积
向量的叉积可以用于判断三点是否共线。三个点 ((x1, y1)), ((x2, y2)), 和 ((x3, y3)) 构成的向量可以表示为 ((x2 - x1, y2 - y1)) 和 ((x3 - x1, y3 - y1))。如果这两个向量的叉积为零，说明它们共线。
2. 计算方法
向量 ((x2 - x1, y2 - y1)) 和 ((x3 - x1, y3 - y1)) 的叉积计算如下： [ (x2 - x1) \cdot (y3 - y1) - (y2 - y1) \cdot (x3 - x1) ]
如果叉积不为零，则说明这三个点不共线，即构成回旋镖。
3. 代码实现
以下是实现上述算法的Python代码：
def solution(points: list) -> bool:
# 提取三个点的坐标
x1, y1 = points[0]
x2, y2 = points[1]
x3, y3 = points[2]
# 计算叉积
return (x2 - x1) * (y3 - y1) != (y2 - y1) * (x3 - x1)
if __name__ == '__main__':
print(solution(points=[[1, 1], [2, 3], [3, 2]]) == True)
print(solution(points=[[1, 1], [2, 2], [3, 3]]) == False)
print(solution(points=[[0, 0], [1, 1], [1, 0]]) == True)
代码详解
- 提取坐标：从输入的
points数组中提取每个点的坐标。 - 计算叉积：通过计算叉积，判断三个点是否共线。如果共线，则返回False；否则返回True。
图解过程
图解样例1：
对于points = [[1, 1], [2, 3], [3, 2]]：
- 三个点分别为 ((1,1)), ((2,3)) 和 ((3,2))。
- 计算向量 ((2-1, 3-1) = (1, 2)) 和 ((3-1, 2-1) = (2, 1)) 的叉积： [ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3 ]
- 因为叉积不等于零，所以这三个点不共线，返回
True。
图解样例2：
对于 points = [[1, 1], [2, 2], [3, 3]]：
- 三个点分别为 ((1,1)), ((2,2)) 和 ((3,3))。
- 计算向量 ((2-1, 2-1) = (1, 1)) 和 ((3-1, 3-1) = (2, 2)) 的叉积： [ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 2 - 2 = 0 ]
- 因为叉积等于零，所以这三个点共线，返回
False。
图解样例3：
对于 points = [[0, 0], [1, 1], [1, 0]]：
- 三个点分别为 ((0,0)), ((1,1)) 和 ((1,0))。
- 计算向量 ((1-0, 1-0) = (1, 1)) 和 ((1-0, 0-0) = (1, 0)) 的叉积： [ 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = 0 - 1 = -1 ]
- 因为叉积不等于零，所以这三个点不共线，返回
True。
学习方法与心得
通过这个题目，我们可以更好地理解和应用二维平面上的几何知识。下面总结一些学习方法与心得：
1. 理解基础几何知识
几何中的基本概念如向量、点和线是解题的基础。通过理解这些基本概念，我们可以将复杂的问题分解为简单的数学计算。
2. 叉积的应用
叉积是一个重要的工具，用于判断向量的垂直关系和点的共线性。通过实践，我们可以掌握如何在实际问题中应用叉积。
3. 注重代码实现与效率
在编写代码时，关注代码的简洁性和效率。例如，利用Python内置的列表解包功能，可以简化代码，提高可读性。
4. 图形化思考
将几何问题可视化，能够帮助我们更好地理解问题。通过画图，我们可以直观地看到点和向量之间的关系，从而更容易找到解决方法。
总结
这道题目通过判断三个点是否构成回旋镖，锻炼了我们在二维平面几何上的思考和分析能力。我们学会了如何利用向量的叉积来判断点的共线性，并通过代码实现将这一思想付诸实践。同时，通过图形化思考和逐步解答，我们可以更加直观、深刻地理解几何问题。
希望这篇文章能对正在学习几何和算法的朋友们提供一些帮助和启发。通过不断地练习和总结，我们可以更好地掌握编程和数学的知识，为解决更复杂的问题打下坚实的基础。欢迎大家继续在豆包MarsCode AI 刷题平台练习，不断提升自己的编程能力！
