问题描述
小C对排列很感兴趣，她想知道有多少个长度为n的排列满足任意两个相邻元素之和都不是素数。排列定义为一个长度为n的数组，其中包含从1到n的所有整数，每个数字恰好出现一次。
测试样例
样例1：
输入：
n = 5
输出：4
样例2：
输入：
n = 3
输出：0
样例3：
输入：
n = 6
输出：24
解题思路
数据结构选择
- 排列的存储：我们可以使用
List<Integer>来存储每个排列。 - 所有排列的存储：使用
List<List<Integer>>来存储所有生成的排列。
算法步骤
-
生成所有排列：
- 使用回溯法生成所有可能的排列。
- 递归地选择每个数字，并确保每个数字只出现一次。
-
检查排列是否满足条件：
- 遍历每个排列，检查相邻元素之和是否为素数。
- 如果所有相邻元素之和都不是素数，则该排列满足条件。
-
统计满足条件的排列数量：
- 遍历所有生成的排列，统计满足条件的排列数量。
具体步骤
-
生成排列：
- 使用回溯法生成所有排列。
- 递归地选择每个数字，并确保每个数字只出现一次。
-
检查排列：
- 遍历每个排列，检查相邻元素之和是否为素数。
- 如果所有相邻元素之和都不是素数，则该排列满足条件。
-
统计结果：
- 统计满足条件的排列数量。
代码
import java.util.*;
public class Main {
public static int solution(int n) {
// 生成所有排列
List<List<Integer>> permutations = generatePermutations(n);
int count = 0;
for (List<Integer> perm : permutations) {
if (isValidPermutation(perm)) {
count++;
}
}
return count;
}
// 生成所有排列
private static List<List<Integer>> generatePermutations(int n) {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
List<Integer> nums = new ArrayList<>();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
nums.add(i);
}
backtrack(result, new ArrayList<>(), nums);
return result;
}
// 回溯生成排列
private static void backtrack(List<List<Integer>> result, List<Integer> tempList, List<Integer> nums) {
if (tempList.size() == nums.size()) {
result.add(new ArrayList<>(tempList));
} else {
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (tempList.contains(nums.get(i))) continue; // 元素已经在当前排列中
tempList.add(nums.get(i));
backtrack(result, tempList, nums);
tempList.remove(tempList.size() - 1);
}
}
}
// 检查排列是否满足条件
private static boolean isValidPermutation(List<Integer> perm) {
for (int i = 0; i < perm.size() - 1; i++) {
if (isPrime(perm.get(i) + perm.get(i + 1))) {
return false;
}
}
return true;
}
// 判断一个数是否为素数
private static boolean isPrime(int num) {
if (num <= 1) return false;
for (int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) {
if (num % i == 0) return false;
}
return true;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(5) == 4);
System.out.println(solution(3) == 0);
System.out.println(solution(6) == 24);
}
}
优化思路
-
减少重复计算：
- 素数判断是一个耗时的操作，可以考虑预先计算并存储素数信息，避免在每次检查排列时重复计算。
-
剪枝：
- 在生成排列的过程中，如果发现当前部分排列已经不满足条件，可以提前终止递归，减少不必要的计算。
-
优化排列生成：
- 使用更高效的排列生成算法，例如使用
Collections.shuffle来生成随机排列，并检查其是否满足条件。
- 使用更高效的排列生成算法，例如使用
-
并行计算：
- 对于较大的
n，可以考虑使用多线程并行计算，加快排列的生成和检查过程。
- 对于较大的
具体优化方向
-
预计算素数：
- 预先计算并存储所有可能的和是否为素数的信息。
-
剪枝优化：
- 在生成排列的过程中，如果发现当前部分排列已经不满足条件，提前终止递归。
-
优化排列生成：
- 使用
Collections.shuffle生成随机排列，并检查其是否满足条件。
- 使用
-
并行计算：
- 使用多线程并行计算，加快排列的生成和检查过程。
