卡牌正反面数字和的整除方案数求解

问题描述

小M有 $n$ 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 $a_i$ ，背面是 $b_i$ 。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被 $3$ 整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 $10^9 + 7$ 取模。

示例1：

输入：n = 3，a = [1, 2, 3]，b = [2, 3, 2]

输出：3

示例2：

输入：n = 4，a = [3, 1, 2, 4]，b = [1, 2, 3, 1]

输出：6

示例3：

输入：n = 5，a = [1, 2, 3, 4, 5]，b = [1, 2, 3, 4, 5]

输出：32

问题分析

思路概述

本题要求计算满足特定条件的方案总数，即选择每张卡牌的正面或背面，使得所有向上的数字之和能被 $3$ 整除。由于每张卡牌都有两个选择（正面或背面），并且我们需要考虑总和的模 $3$ 值，这提示我们可以使用动态规划来解决这个问题。

状态定义

设 dp[s] 表示当前已处理的卡牌，其向上数字之和模 $3$ 为 $s$ 的方案数。由于模 $3$ 的结果只有 $0, 1, 2$ 三种可能，所以 dp 数组的大小为 $3$ 。

转移方程

对于每张卡牌，我们有两个选择：

选择正面数字 $a_i$ 。
选择背面数字 $b_i$ 。

我们需要更新 dp，使其包含当前卡牌的选择结果。对于每个可能的前一状态 s，我们可以通过选择当前卡牌的正面或背面，计算新的模 $3$ 值，并累加方案数。

当 $a_i \ne b_i$ 时：

for s in range(3):
    for num in [a_i, b_i]:
        new_mod = (s + num) % 3
        temp_dp[new_mod] = (temp_dp[new_mod] + dp[s]) % MOD

当 $a_i = b_i$ 时：

即使正反面的数字相同，但由于卡牌的两面不同，我们仍然有两种不同的选择（正面朝上或反面朝上）。因此，方案数需要乘以 $2$ 。

for s in range(3):
    new_mod = (s + a_i) % 3
    temp_dp[new_mod] = (temp_dp[new_mod] + dp[s] * 2) % MOD

初始条件

最初，没有选任何卡牌时，和为 $0$ ，因此 dp[0] = 1。

代码详解

def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
    MOD = 10**9 + 7  # 模数
    dp = [0] * 3     # dp[s] 表示和模 3 为 s 的方案数
    dp[0] = 1        # 初始条件，和为 0 的方案数为 1
    for i in range(n):
        temp_dp = [0] * 3  # 用于更新 dp 的临时数组
        if a[i] == b[i]:
            # 当正反面数字相同，但选择不同，方案数要乘以 2
            for s in range(3):
                new_mod = (s + a[i]) % 3
                temp_dp[new_mod] = (temp_dp[new_mod] + dp[s] * 2) % MOD
        else:
            # 正反面数字不同，分别考虑选择 a[i] 和 b[i]
            for s in range(3):
                for num in [a[i], b[i]]:
                    new_mod = (s + num) % 3
                    temp_dp[new_mod] = (temp_dp[new_mod] + dp[s]) % MOD
        dp = temp_dp  # 更新 dp
    return dp[0] % MOD  # 返回和能被 3 整除的方案数

代码解释

初始化： dp[0] = 1，表示初始状态下，和为 $0$ 的方案数为 $1$ 。
遍历每张卡牌：
- 创建一个临时数组 temp_dp，用于存储更新后的方案数。
- 当 $a_i = b_i$ 时：
  - 对于每个可能的前一状态 s，计算新的模 $3$ 值 new_mod，方案数累加 dp[s] * 2（因为有两种选择，但数字相同）。
- 当 $a_i \ne b_i$ 时：
  - 对于每个可能的前一状态 s，分别考虑选择 a_i 和 b_i，计算新的模 $3$ 值，方案数累加 dp[s]。
更新 dp： 将 temp_dp 的值赋给 dp，进入下一次迭代。
结果返回： 最终 dp[0] 即为满足条件的方案数。

测试样例验证

示例1：

输入：n = 3，a = [1, 2, 3]，b = [2, 3, 2]

通过上述算法，计算得出方案数为 3，与示例输出一致。

示例2：

输入：n = 4，a = [3, 1, 2, 4]，b = [1, 2, 3, 1]

计算得出方案数为 6，与示例输出一致。

示例3：

输入：n = 5，a = [1, 2, 3, 4, 5]，b = [1, 2, 3, 4, 5]

计算得出方案数为 32，与示例输出一致。

复杂度分析

时间复杂度： $O(n)$ ，其中 $n$ 为卡牌数量。因为我们需要遍历每张卡牌，对于每张卡牌的操作都是常数级别。
空间复杂度： $O(1)$ 。dp 数组的大小固定为 $3$ ，与 $n$ 无关。

总结

本题通过将问题转化为模 $3$ 的动态规划，巧妙地解决了组合数求解的问题。在处理相同数字的卡牌时，注意到虽然数字相同，但选择的面不同，仍然算作不同的方案，需要倍乘。这一细节是解题的关键所在。

通过本题，我们学习了如何将求组合数的问题转化为状态转移问题，以及在动态规划中处理模运算的技巧。这对于解决类似的组合计数问题具有重要的参考价值。