前言
几何问题一直是数学和编程中的经典题目之一，尤其是涉及到平面上的三点判定问题。小M正在玩一个几何游戏，她需要判断给定的三点是否构成回旋镖。什么是回旋镖？简单来说，回旋镖就是三点不在同一条直线上，且这三点互不相同。如何高效判断三点是否构成回旋镖呢？这次我们就来一步步分析和解决这个问题。
问题描述
给定一个二维平面上的三个点 points，其中每个点用坐标表示为 points[i] = [xi, yi]。判断这三个点是否构成回旋镖，满足条件如下：
- 三个点不在同一条直线上；
- 三个点互不相同。
示例
-
示例1：
- 输入：
points = [[1, 1], [2, 3], [3, 2]] - 输出：
True - 解释：这三点不在同一条直线上，构成回旋镖。
- 输入：
-
示例2：
- 输入：
points = [[1, 1], [2, 2], [3, 3]] - 输出：
False - 解释：这三点在同一条直线上，不构成回旋镖。
- 输入：
-
示例3：
- 输入：
points = [[0, 0], [1, 1], [1, 0]] - 输出：
True - 解释：这三点不在同一条直线上，构成回旋镖。
- 输入：
解题思路
1. 判断三点是否互不相同
首先，我们需要检查三点是否是不同的点。如果有两个或更多的点相同，那么它们显然无法构成回旋镖。
2. 判断三点是否在同一条直线上
判断三点是否共线，是这道题的核心。我们可以通过计算两条线段的斜率来判断是否共线。为避免除法带来的精度问题，我们使用交叉乘法来代替斜率计算。
具体步骤是：
-
对于三点 A(x1, y1) 、B(x2, y2) 和 C(x3, y3) ，可以计算两个向量：
- 向量 AB = (x2 - x1, y2 - y1)
- 向量 BC = (x3 - x2, y3 - y2)
-
如果这两个向量的叉积不为零，则三点不共线，构成回旋镖。
- 叉积公式：
(x2 - x1)*(y3 - y2) - (y2 - y1)*(x3 - x2)
- 叉积公式：
3. 具体实现
我们将根据上述思路编写代码，判断三点是否满足回旋镖条件。
public class Main {
public static boolean solution(int[][] points) {
// 检查三点是否互不相同
if (points[0][0] == points[1][0] && points[0][1] == points[1][1]) return false;
if (points[0][0] == points[2][0] && points[0][1] == points[2][1]) return false;
if (points[1][0] == points[2][0] && points[1][1] == points[2][1]) return false;
// 计算两条线段的斜率（交叉乘法避免除法）
int dx1 = points[1][0] - points[0][0];
int dy1 = points[1][1] - points[0][1];
int dx2 = points[2][0] - points[1][0];
int dy2 = points[2][1] - points[1][1];
// 如果斜率不同，则三点不共线，返回 true
return dy1 * dx2 != dy2 * dx1;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(new int[][]{{1, 1}, {2, 3}, {3, 2}}) == true); // true
System.out.println(solution(new int[][]{{1, 1}, {2, 2}, {3, 3}}) == false); // false
System.out.println(solution(new int[][]{{0, 0}, {1, 1}, {1, 0}}) == true); // true
}
}
步骤1：检查三点是否互不相同
通过简单的条件判断，我们首先检查三个点是否相同。如果任意两个点相同，返回 false，否则继续执行后续的判断。
步骤2：计算斜率的交叉乘法
我们通过计算两条线段的斜率，判断三点是否共线。为了避免除法带来的精度问题，直接使用交叉乘法来判断斜率是否相等。若两条线段的斜率相等，则三点共线，返回 false；否则，返回 true。
步骤3：返回结果
如果以上两个判断都通过，我们最终返回 true，表示这三个点构成回旋镖；否则返回 false。
测试结果
- 输入
points = [[1, 1], [2, 3], [3, 2]]，输出True。 - 输入
points = [[1, 1], [2, 2], [3, 3]]，输出False。 - 输入
points = [[0, 0], [1, 1], [1, 0]]，输出True。
通过这些测试，我们可以看到代码准确地判断了三点是否构成回旋镖。
复杂度分析
时间复杂度
- 检查点是否相同的操作是常数时间
O(1)。 - 计算斜率的交叉乘法也是常数时间
O(1)。
因此，整个算法的时间复杂度是 O(1) 。
空间复杂度
- 我们只使用了常数空间来存储输入的点坐标，因此空间复杂度是 O(1) 。
总结
通过简单的几何推理和交叉乘法，我们能够高效地解决三点是否构成回旋镖的问题。这道题考察了我们如何运用数学公式来避免浮动计算带来的误差，并通过编程实现了高效的判断方法。希望大家在解题过程中，能理解回旋镖问题的核心逻辑，并掌握如何优化算法，快速判断条件是否成立。
