青训营X豆包MarsCode 技术训练营题目解析——小S的货船租赁冒险｜豆包MarsCode AI 刷题题目解析 1.

题目解析

1. 问题背景

小S有一个预算 VV，希望从 QQ 种不同类型的货船中选择一些货船，使得 租赁总成本不超过预算，并且 总载货量最大化。
每种货船的信息包括：

数量 m[i]m[i]： 第 ii 种货船最多可以租用的数量。
租赁成本 v[i]v[i]： 每艘该种货船的租赁成本。
最大载货量 w[i]w[i]： 每艘该种货船的最大载货量。

这是一个经典的多重背包问题，目标是求出在预算 VV 内能够获得的最大总载货量。

2. 输入输出解析

输入：

QQ：货船种类数量。
VV：预算总额。
ships\text{ships}：一个二维数组，包含每种货船的信息 [m[i],v[i],w[i]][m[i], v[i], w[i]]。

输出：

最大总载货量： 满足预算限制下，小S能租用货船的最大总载货量。

算法思路

1. 动态规划建模

这是一个多重背包问题，解决方法为动态规划：

状态定义：
- 使用 dp[j]dp[j] 表示在预算 jj 下，可以达到的最大总载货量。
状态转移：
- 对于第 ii 种货船，枚举租用的数量 kk： dp[j]=max⁡(dp[j],dp[j−k⋅v[i]]+k⋅w[i])dp[j] = \max(dp[j], dp[j - k \cdot v[i]] + k \cdot w[i]) 其中 1≤k≤min⁡(m[i],⌊j/v[i]⌋)1 \leq k \leq \min(m[i], \lfloor j / v[i] \rfloor)，表示不能超过货船数量限制，且租赁总成本不超预算。
边界条件：
- 初始时，dp[0]=0dp[0] = 0（预算为 0 时，总载货量为 0）。
优化方向：
- 从大到小遍历预算 jj，确保当前决策不会干扰后续决策。

2. 解题步骤

初始化一个大小为 V+1V+1 的数组 dpdp，用来记录不同预算下的最大载货量。
遍历每种货船，对每个预算 jj：
- 枚举租用该货船的数量 kk，更新 dp[j]dp[j]。
最终，返回 dp[V]dp[V] 即为结果。

代码解析

def solution(Q, V, ships):
    # 初始化 dp 数组，dp[j] 表示预算 j 下的最大总载货量
    dp = [0] * (V + 1)
    
    # 遍历每种货船类型
    for m, v, w in ships:
        # 从高到低遍历预算，防止重复计算
        for j in range(V, -1, -1):
            # 尝试租用 k 艘货船
            for k in range(1, min(m, j // v) + 1):  # k 最大为 m 或预算能买得起的数量
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * v] + k * w)
    
    # 返回在预算 V 下的最大载货量
    return dp[V]

# 测试用例
if __name__ == "__main__":
    ships1 = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]
    ships2 = [[30, 141, 47], [9, 258, 12], [81, 149, 13], [91, 236, 6], [27, 163, 74], [34, 13, 58], [61, 162, 1], [80, 238, 29], [36, 264, 28], [36, 250, 2], [70, 214, 31], [39, 116, 39], [83, 287, 4], [61, 269, 94], [23, 187, 46], [78, 33, 29], [46, 151, 2], [71, 249, 1], [67, 76, 85], [72, 239, 17], [61, 256, 49], [48, 216, 73], [39, 49, 74]]
    print(solution(2, 10, ships1) == 32)  # 测试结果: True
    print(solution(23, 400, ships2) == 1740)  # 测试结果: True

详细运行示例

样例 1：

输入：

Q = 2, V = 10
ships = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]

初始 dp=[0,0,0,…,0]dp = [0, 0, 0, \dots, 0]（长度为 V+1=11V+1 = 11）。
遍历第 1 种货船（2 艘，价格 3，载货量 2）：
- j=10j = 10 至 j=0j = 0，枚举租用 kk 艘：
  - k=1k = 1: dp[10]=max⁡(dp[10],dp[7]+2)dp[10] = \max(dp[10], dp[7] + 2)。
  - k=2k = 2: dp[10]=max⁡(dp[10],dp[4]+4)dp[10] = \max(dp[10], dp[4] + 4)。
遍历第 2 种货船（3 艘，价格 2，载货量 10）：
- 类似更新 dpdp，最终得到 dp[10]=32dp[10] = 32。

输出：32

复杂度分析

时间复杂度：
- 外层循环 QQ 次（货船种类）。
- 每次遍历预算 VV，枚举货船数量 kk，复杂度为 O(Q⋅V⋅K)O(Q \cdot V \cdot K)，其中 KK 是单种货船的最大租用数量。
空间复杂度：
- O(V)O(V) 用于存储 dpdp 数组。

优化可以采用二进制分组优化枚举 kk，减少复杂度到 O(Q⋅V⋅log⁡M)O(Q \cdot V \cdot \log M)，其中 MM 是单种货船最大数量。

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