一、问题重述
问题描述
小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 aiai，背面是 bibi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3
样例2：
输入：
n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6
样例3：
输入：
n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32
二、代码实现
def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
MOD = 10**9 + 7
# 初始化dp数组，dp[i][j]表示前i张卡牌中，数字之和模3等于j的组合数
dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
# 初始条件：没有卡牌时，数字之和为0的组合数为1
dp[0][0] = 1
# 遍历每一张卡牌
for i in range(1, n + 1):
# 当前卡牌的正面和背面数字
num1 = a[i - 1]
num2 = b[i - 1]
# 更新dp数组
for j in range(3):
# 选择正面的情况
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][(j - num1 % 3 + 3) % 3]) % MOD
# 选择背面的情况
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][(j - num2 % 3 + 3) % 3]) % MOD
# 最终答案为前n张卡牌中，数字之和模3等于0的组合数
return dp[n][0]
if __name__ == '__main__':
print(solution(n = 3, a = [1, 2, 3], b = [2, 3, 2]) == 3)
print(solution(n = 4, a = [3, 1, 2, 4], b = [1, 2, 3, 1]) == 6)
print(solution(n = 5, a = [1, 2, 3, 4, 5], b = [1, 2, 3, 4, 5]) == 32)
三、思路讲解
解题思路
-
理解问题：我们需要找到所有卡牌正面或背面朝上的组合，使得这些数字之和可以被3整除。
-
数据结构选择：我们可以使用动态规划（DP）来解决这个问题。具体来说，我们可以使用一个二维数组
dp，其中dp[i][j]表示前i张卡牌中，数字之和模3等于j的组合数。 -
算法步骤：
- 初始化
dp[0][0] = 1，表示没有卡牌时，数字之和为0的组合数为1。 - 遍历每一张卡牌，更新
dp数组。 - 最终答案为
dp[n][0]，表示前n张卡牌中，数字之和模3等于0的组合数。
- 初始化
关键步骤解释
- 初始化
dp数组：dp[0][0] = 1表示没有卡牌时，数字之和为0的组合数为1。 - 遍历每一张卡牌：对于每一张卡牌，我们考虑选择正面或背面的情况，并更新
dp数组。 - 更新
dp数组：对于每一张卡牌，我们根据选择正面或背面的情况，更新dp[i][j]。 - 最终答案：
dp[n][0]表示前n张卡牌中，数字之和模3等于0的组合数。
四、总结
我们需要通过动态规划来解决这个问题，使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 张卡牌中，数字之和模3等于 j 的组合数。初始化 dp[0][0] = 1，然后遍历每一张卡牌，根据选择正面或背面的情况更新 dp 数组。最终答案为 dp[n][0]，表示前 n 张卡牌中，数字之和模3等于0的组合数。
