堆排序 | 豆包MarsCode AI刷题

堆的结构和性质

堆是一种完全二叉树，满足以下条件：

• 完全二叉树：所有层次除了最后一层都被完全填满，最后一层从左到右填充。
• 堆性质
  1. 最大堆：任意父节点的值 ≥ 子节点的值。
  2. 最小堆：任意父节点的值 ≤ 子节点的值。

堆在数组中的存储方式

存储方式：用一维数组：下标为1的点是根节点，下标为x的节点左子节点下标是2x，节点x的左子节点下标是2x+1 在数组中存储堆时，节点之间的关系为：

• 父节点的索引：$i$
• 左子节点的索引：$2×i$
• 右子节点的索引：$2×i+1$

例如，对于数组：

Index:    1   2   3   4   5   6   7
Values:   5   3   8   2   1   6   4

• 节点 1 是根节点，子节点是 2 和 3。
• 节点 2 的子节点是 4 和 5。
• 节点 3 的子节点是 6 和 7。

相关操作

• 插入一个数
  堆的大小加一，并将该元素插入至堆尾，进行上浮操作维护堆的性质
• 求集合当中最小值
  堆顶元素即集合当中最小值
• 删除最小值
  由于数组删除元素比较麻烦，删除操作可以等价于第一步用堆底的元素覆盖根节点，第二步删除尾节点，第三步下沉
• 删除任意一个元素
  删除任意一个元素操作可以类比删除最小值，第一步用堆底的元素覆盖任意节点，第二步删除尾节点，第三步下沉上升（注意这里只会执行一次）维护堆的性质
• 修改任意一个元素
  修改任意一个节点的值，然后下沉上升

代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int heap[N], siz;

void down(int x) {
    int t = x;
    if (2 * x <= siz && heap[t] > heap[2 * x]) t = 2 * x;
    if (2 * x + 1 <= siz && heap[t] > heap[2 * x + 1]) t = 2 * x + 1;
    if (t != x) {
        swap(heap[t], heap[x]);
        down(t);
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> heap[i];
    siz = n;
    
    // 建堆
    for (int i = n / 2; i; i --) down(i);
    
    while (m --) {
        // 输出最小值
        printf("%d ", heap[1]);
        // 删除堆顶元素并更新堆
        heap[1] = heap[siz];
        siz --;
        down(1);
    }
    
    return 0;
}

down函数解释

1. 假设当前节点，下标为x的节点是最小节点，用t记录子树中最小节点的下标
2. 检查左子节点是否存在：2 * x <= siz
   如果左子节点存在，并且其值小于当前节点的值：heap[t] > heap[2 * x]，更新t为左子节点的索引。
3. 检查右子节点是否存在2 * x + 1 <= siz
   如果右子节点存在，并且其值小于当前最小值：heap[t] > heap[2 * x + 1]，更新t为右子节点的索引。
4. 如果当前节点不是最小值x != t，则交换当前节点与最小节点的值 交换后，递归调用down(t)，继续调整子树