题目解析
在这个问题中，小K面临着一个有趣的数组挑战。她定义了一个数组的权值为数组中任选两个数的按位与（bitwise AND）的值之和，且这个计算需要遍历数组的所有连续子数组。具体来说，对于每个连续子数组，我们需要计算所有可能的两个元素按位与的值，并将这些值累加起来，最后得到整个数组的权值和。题目要求我们求出这个权值和，并对10^9 + 7取模。
思路与图解
- 按位与的性质：首先，我们需要理解按位与的性质。对于任意两个数a和b，a & b的结果中，只有在a和b的二进制表示中同时为1的位上，结果才为1，否则为0。
- 贡献法：考虑到直接计算所有子数组的权值和非常耗时，我们可以采用贡献法。即，对于数组中的每个元素a[i]，我们计算它对所有子数组权值的贡献。
- 优化计算：对于a[i]，我们需要找到所有包含a[i]的子数组，并计算a[i]在这些子数组中与其他元素的按位与值。然而，直接这样做仍然很复杂。我们可以进一步观察，发现a[i]的某一位是否为1，只影响那些在该位上也为1的元素与a[i]的按位与结果。
- 利用前缀和与后缀和：为了快速计算a[i]对权值的贡献，我们可以利用前缀和与后缀和数组。这些数组可以帮助我们快速找到在a[i]之前或之后，某一位上为1的元素个数。
- 位运算与计数：对于a[i]的每一位，我们分别计算它对权值的贡献。这涉及到对a[i]的每一位进行位运算，并统计满足条件的元素对个数。
知识总结与学习心得
- 位运算的重要性：通过这个问题，我深刻体会到了位运算在算法设计中的重要性。位运算能够高效地处理二进制数据，是解决某些特定问题的关键。
- 贡献法的应用：贡献法是一种常用的算法设计技巧，它通过将问题转化为计算每个元素或子结构的贡献来简化问题。在这个问题中，贡献法帮助我们避免了直接计算所有子数组权值的复杂过程。
- 数据结构与算法的结合：优化后的算法需要利用数据结构（如前缀和数组、后缀和数组等）来快速计算贡献。这提醒我们，在算法设计中，合理地选择和使用数据结构是非常重要的。
- 刷题与学习：通过刷题，我不仅巩固了已有的知识点，还学习到了新的算法和技巧。这对我提升编程能力和解决问题的能力非常有帮助。
- 持续学习：算法和数据结构是一个不断发展和更新的领域。我需要保持持续学习的态度，不断探索新的算法和技术，以应对日益复杂的挑战。
学习计划与工具运用
- 制定刷题计划：我将结合豆包MarsCode AI刷题功能，制定一个合理的刷题计划。这个计划将包括每天刷题的数量、难度以及时间分配等。
- 利用错题进行针对性学习：在刷题过程中，我会及时记录并分析错题。通过分析错题，我可以找出自己的薄弱环节，并进行有针对性的学习和练习。
- 结合其他学习资源：除了刷题外，我还会结合其他学习资源（如书籍、视频教程等）来提升自己的算法和数据结构能力。这些资源可以帮助我更深入地理解算法的原理和实现方法。
- 分享与交流：在学习过程中，我会积极与他人分享和交流自己的心得和体会。通过分享和交流，我可以从他人的经验和教训中学到更多东西，并不断完善自己的学习方法和策略。
