题目
小S在一个n×mn×m的网格迷宫中，初始位置在左上角 (1,1)(1,1)，目标是到达右下角 (n,m)(n,m)。每个格子可以是黑色（表示为1）或者白色（表示为0）。他希望在移动过程中经过的黑色格子尽可能少。移动时可以向上、下、左、右四个方向移动，但不能走出迷宫的边界。请你帮小S计算从起点到终点所需经过的最少黑色格子的数量。
解题思路
这个题目是一个经典的 最短路径问题，但与普通的最短路径不同，它要求的是经过的黑色格子最少，而不仅仅是最短路径的步数。因此，我们可以通过 加权图的最短路径算法 来解决这个问题。
问题建模：
可以将迷宫看作一个 网格图，其中每个格子代表一个图的节点。
网格中的每个格子都有一个权值：如果是白色格子（0），权值是 0；如果是黑色格子（1），权值是 1。
起点是左上角 (1, 1)，终点是右下角 (n, m)，我们需要找到一条从起点到终点的路径，经过的黑色格子数最少。
使用广度优先搜索（BFS）或 Dijkstra 算法：由于每个格子的权值只有 0 或 1（这是一种特殊的加权图），我们可以利用 0-1 BFS 或 Dijkstra 算法 来解决这个问题。 0-1 BFS：0-1 BFS 是一种特殊的 BFS，适用于边权只有 0 和 1 的图。在该算法中，我们使用双端队列（deque）来优化队列的操作，使得当访问一个邻接点的边权为 0 时，可以将其放到队列前端，而当边权为 1 时，则放到队列后端。这就保证了从起点到终点的路径经过黑色格子的数量最少。 Dijkstra 算法：Dijkstra 算法适用于有非负权值的图，在每次选择最小的路径时，可以将黑色格子的数量作为权值，通过最小化路径权值来找到最优路径。
豆包MarsCode AI给出的算法步骤
- 初始化一个二维数组
dist，其中dist[i][j]表示到达位置(i, j)时经过的黑色格子数最少的值，初始值设为无穷大，起点(1, 1)设为 0。 - 使用 0-1 BFS 或 Dijkstra 算法进行遍历，更新每个位置的最少黑色格子数。
- 对于每个位置
(x, y)，检查四个方向（上、下、左、右）是否可以走，如果能走并且经过的新位置(nx, ny)的黑色格子数比当前的最少值更小，则更新dist[nx][ny]。 - 最终，
dist[n][m]即为从起点(1, 1)到终点(n, m)的最少黑色格子数。
测试样例:
样例1：
输入：
n = 5 ,m = 3 ,grid = [[0, 1, 0], [0, 1, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0], [1, 0, 0]]
输出：1
样例2：
输入：
n = 4 ,m = 4 ,grid = [[0, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 0]]
输出：0
样例3：
输入：
n = 3 ,m = 3 ,grid = [[0, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 0]]
输出：0
代码实现:
from collections import deque
def solution(n: int, m: int, grid: list) -> int:
# 移动的方向
directions = [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]
# 初始化 BFS 队列
queue = deque([(0, 0)]) # 起点 (0, 0)
visited = [[float('inf')] * m for _ in range(n)]
visited[0][0] = grid[0][0] # 初始黑色格子数量
while queue:
x, y = queue.popleft()
for dx, dy in directions:
nx, ny = x + dx, y + dy
if 0 <= nx < n and 0 <= ny < m: # 确保在边界内
# 计算到邻居的黑色格子数量
new_black_count = visited[x][y] + grid[nx][ny]
# 如果新的黑色格子数量更少，则更新并加入队列
if new_black_count < visited[nx][ny]:
visited[nx][ny] = new_black_count
queue.append((nx, ny))
# 返回右下角的最少黑色格子数量
return visited[n-1][m-1]
if __name__ == '__main__':
print(solution(5, 3, [[0, 1, 0], [0, 1, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0], [1, 0, 0]]) == 1)
print(solution(4, 4, [[0, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 0]]) == 0)
print(solution(3, 3, [[0, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 0]]) == 0)
时间复杂度：
- 空间复杂度：O(n * m)，用于存储
dist数组和队列。 - 时间复杂度：每个节点最多被访问一次，每个操作的复杂度为 O(1)，因此整体时间复杂度是 O(n * m)。
总结：
这个问题通过将其转化为 最短路径问题，并利用 0-1 BFS 或 Dijkstra 算法 来求解，可以有效地找出从起点到终点经过的最少黑色格子数。这种方法特别适合于边权为 0 或 1 的加权图问题。
