最大矩形面积

问题描述

小S最近在分析一个数组 h1,h2,...,hNh1​,h2​,...,hN​，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 kk 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。

对于 kk 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为：

R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])

即，R(k)R(k) 的值为这 kk 个相邻元素中的最小值乘以 kk。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 kk，R(k)R(k) 的最大值。

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测试样例

样例1：

输入：n = 5, array = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：9

样例2：

输入：n = 6, array = [5, 4, 3, 2, 1, 6]
输出：9

样例3：

输入：n = 4, array = [4, 4, 4, 4]
输出：16

问题理解

我们需要找到数组中任意 k 个相邻元素所能形成的最大矩形面积。具体来说，对于 k 个相邻的元素，矩形的最大面积为：

R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])

即，R(k) 的值为这 k 个相邻元素中的最小值乘以 k。我们需要找到对于任意 k，R(k) 的最大值。

思路提示

1. 暴力解法：

   • 最简单的方法是遍历所有可能的 k 值（从 1 到 n），然后对于每个 k，遍历数组中所有可能的 k 个相邻元素，计算其面积，并记录最大值。
   • 这种方法的时间复杂度为 O(n2)，对于较大的数组可能会超时。

2. 单调栈优化：

   • 我们可以使用单调栈来优化这个过程。单调栈可以帮助我们在 O(n) 的时间内找到以每个元素为最小值的矩形面积。
   • 具体来说，我们可以维护一个单调递增的栈，栈中存储数组元素的索引。
   • 当我们遇到一个比栈顶元素小的元素时，弹出栈顶元素并计算以栈顶元素为最小值的矩形面积。
   • 遍历结束后，栈中可能还剩下一些元素，依次弹出并计算面积。

数据结构选择

• 单调栈：用于在 O(n) 的时间内找到以每个元素为最小值的矩形面积。

算法步骤

1. 初始化：

   • 初始化一个空栈和一个最大面积变量 max_area。

2. 遍历数组：

   • 对于每个元素，如果当前元素比栈顶元素大或栈为空，直接压入栈中。
   • 如果当前元素比栈顶元素小，弹出栈顶元素并计算面积，更新最大面积。

3. 处理剩余元素：

   • 遍历结束后，栈中可能还剩下一些元素，依次弹出并计算面积，更新最大面积。