数组最小元素和题解 | 豆包MarsCode AI刷题学习记录与心得：最小数组元素和问题解析问题描述小C希望构造一个

学习记录与心得：最小数组元素和问题解析

问题描述

小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件：

数组中的所有元素两两不同。
数组所有元素的最大公约数为 k。
数组元素之和尽可能小。
任务是输出该数组元素之和的最小值。

题意分析

本题的目标是构造一个满足特定条件的数组，并求出其元素和的最小值。具体要求如下：

数组包含 ( n ) 个元素，且所有元素两两不同。
数组中所有元素的最大公约数（GCD）为 ( k )。
数组元素的和尽可能小。

通过本题可以学习如何结合数学和编程解决优化问题，理解最大公约数的性质，以及如何生成满足条件的最优解。

问题分析

条件分析

两两不同：意味着数组中的元素不能重复。
最大公约数为 ( k )：数组中所有元素的公共因子必须是 ( k )，因此数组中的每个元素必定是 ( k ) 的倍数。
和尽可能小：最小化数组和的关键是选择最小的 ( n ) 个 ( k ) 的倍数。

关键思路

根据条件分析得知，数组的所有元素必须是 ( k ) 的倍数，即：

$a_i = k \times x_i \quad (i = 1, 2, \dots, n)$

其中 $x_i$ 为整数。为了使数组的 GCD 为 ( k )，数组元素可以取： [ $a_1 = k, \; a_2 = 2k, \; a_3 = 3k, \; \dots, \; a_n = nk$ ] 这样确保了数组中的每个元素是 ( k ) 的倍数，并且两两不同，同时 ( $x_i$ ) 连续的整数保证了 GCD 为 ( k )。

数学推导

数组元素为 ( $k, 2k, \dots, nk$ )，其和为：

$\text{sum} = k + 2k + 3k + \dots + nk = k \times (1 + 2 + 3 + \dots + n)$

其中 ( $1 + 2 + \dots + n$ ) 是前 ( n ) 个正整数的和，可以用公式计算： [ $1 + 2 + \dots + n = \frac{n \times (n + 1)}{2}$ ] 因此，数组元素和的最小值为： [ $\text{sum} = k \times \frac{n \times (n + 1)}{2}$ ]

示例解析

示例 1

输入：( n = 3, k = 1 )
步骤：

数组元素为 ( 1, 2, 3 )（即 ( 1k, 2k, 3k )）。
元素和为 ( 1 + 2 + 3 = 6 )。

输出：6

示例 2

输入：( n = 2, k = 2 )
步骤：

数组元素为 ( 2, 4 )（即 ( 1k, 2k )）。
元素和为 ( 2 + 4 = 6 )。

输出：6

示例 3

输入：( n = 4, k = 3 )
步骤：

数组元素为 ( 3, 6, 9, 12 )（即 ( 1k, 2k, 3k, 4k )）。
元素和为 ( 3 + 6 + 9 + 12 = 30 )。

输出：30

图解

通过图表更清晰地了解问题：

( n )	( k )	数组元素	元素和
3	1	( [1, 2, 3] )	6
2	2	( [2, 4] )	6
4	3	( [3, 6, 9, 12] )	30

代码详解

以下是解决问题的完整代码：

def solution(n: int, k: int) -> int:
    # 初始化一个列表来存储 `k` 的倍数
    multiples = []
    
    # 从 `k` 开始，生成 `n` 个不同的 `k` 的倍数
    current = k
    while len(multiples) < n:
        # 如果当前数不在列表中，添加到列表
        if current not in multiples:
            multiples.append(current)
        # 增加 `k`，继续生成下一个倍数
        current += k
    
    # 计算这些倍数的和
    result = sum(multiples)
    
    return result

if __name__ == '__main__':
    # 测试用例
    print(solution(n=3, k=1) == 6)  # 输出 True
    print(solution(n=2, k=2) == 6)  # 输出 True
    print(solution(n=4, k=3) == 30) # 输出 True

代码解释

初始化列表：创建一个空列表 multiples 来存储数组元素。
生成倍数：从k开始，依次生成 ( $k, 2k, 3k, \dots$ )，直到找到n个不同的倍数。
计算和：通过 sum(multiples) 求出所有元素的和。

时间复杂度

生成 ( n ) 个倍数需要线性时间 ( $O(n)$ )。
求和操作为 ( $O(n)$ )。因此，总时间复杂度为 ( $O(n)$ )。

学习心得

数学在算法中的重要性：本题的关键在于理解数学公式与问题条件的关联。例如，通过等差数列公式计算元素和，大幅简化了问题的计算复杂度。相比逐项累加，这种方法更加高效且清晰。
最大公约数的性质：在构造数组时，数组元素必须是k的倍数，且选择最小的n个倍数可以确保数组的最大公约数为k。这一逻辑清晰地体现了最大公约数的应用。 3.问题的分步解决思路复杂问题的解决需要逐步分解。本题通过“元素构造”和“求和”两个步骤完成，体现了算法设计的条理性。
数学优化：利用等差数列公式快速求解数组和，避免了逐项累加的低效计算。
代码设计：分步骤生成倍数、避免重复计算，是提升代码效率的关键。
泛化能力：这种倍数生成的方法可以推广到其他需要构造满足条件数组的场景。