11观光景点组合得分问题题解 | 豆包MarsCode AI刷题问题描述小R正在研究一组观光景点，每个景点都有一个评分

问题描述

小R正在研究一组观光景点，每个景点都有一个评分，保存在数组 values 中，其中 values[i] 表示第 i 个观光景点的评分。同时，景点之间的距离由它们的下标差 j - i 表示。

一对景点 (i < j) 的观光组合得分为 values[i] + values[j] + i - j，也就是两者评分之和减去它们之间的距离。

小R想知道，在哪种情况下能够获得观光景点组合的最高得分。

测试样例

样例1：

输入：values = [8, 3, 5, 5, 6]
输出：11

样例2：

输入：values = [10, 4, 8, 7]
输出：16

样例3：

输入：values = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：8

问题解析

我们需要找到一个具有最大得分的景点组合，其中得分的计算方式为：

score=values[i]+values[j]+(i−j) =values[i]+values[j]+(i−j)

其中 i 和 j 是两个不同的景点下标，且 i<j 。这意味着我们需要在一对景点之间找到最大得分。

观察与优化

从问题的定义可以看出，我们的目标是最大化这个得分公式：

score=values[i]+values[j]+(i−j)\text{score} = \text{values}[i] + \text{values}[j] + (i - j)score=values[i]+values[j]+(i−j)

我们可以将其拆解成两部分：

第一部分：values[i]−i\text{values}[i] - ivalues[i]−i
第二部分：values[j]+j\text{values}[j] + jvalues[j]+j

这意味着，公式可以变为：

score=(values[i]−i)+(values[j]+j)\text{score} = (\text{values}[i] - i) + (\text{values}[j] + j)score=(values[i]−i)+(values[j]+j)

优化思路

我们可以在遍历过程中维护两个值：

max1=values[i]−i\text{max1} = \text{values}[i] - imax1=values[i]−i（第一个景点的得分值）
max2=values[j]+j\text{max2} = \text{values}[j] + jmax2=values[j]+j（第二个景点的得分值）

每次计算时，只需要找到目前 max1\text{max1}max1 的最大值和 max2\text{max2}max2 的值的和。这样可以避免我们原本的两层嵌套循环，从而大大提升效率。

算法设计

初始化：维护 max1 为一个非常小的值（代表第一个景点的得分最大值），max2 为当前景点的值加上其下标。
遍历数组：从第一个景点到最后一个景点，依次计算每个景点的得分，并更新 max1 和 max2。
返回结果：最终返回最大得分。

代码实现

#include <vector>
#include <iostream>
#include <climits>  // 为了使用INT_MIN

using namespace std;

int solution(vector<int>& values) {
    int maxScore = INT_MIN;  // 用于存储最终的最大得分
    int max1 = INT_MIN;      // 用于存储 values[i] - i 的最大值
    
    // 从第二个元素开始计算最大得分
    for (int j = 1; j < values.size(); ++j) {
        // 计算当前组合的得分
        maxScore = max(maxScore, max1 + values[j] + j);
        
        // 更新 max1 为当前 values[i] - i 的最大值
        max1 = max(max1, values[j - 1] - (j - 1));
    }
    
    return maxScore;
}

int main() {
    // 测试样例
    cout << solution({8, 3, 5, 5, 6}) << endl;  // 输出: 11
    cout << (solution({8, 3, 5, 5, 6}) == 11) << endl;
    cout << (solution({10, 4, 8, 7}) == 16) << endl;
    cout << (solution({1, 2, 3, 4, 5}) == 8) << endl;
    return 0;
}

代码解析

初始化变量：
- maxScore 用于记录计算过程中的最大得分，初始化为 INT_MIN，表示尚未计算任何得分。
- max1 用于存储 values[i] - i 的最大值，初始化为 INT_MIN。
遍历计算：
- 从第二个元素开始遍历（即 j = 1），因为 i 和 j 必须满足 i < j。
- 每次计算当前景点 j 与之前景点 i 的得分，更新 maxScore。
- 更新 max1，保持其为 values[i] - i 的最大值。
返回结果：
- 最后，返回存储的最大得分 maxScore。

时间复杂度

该算法仅需要一次遍历整个数组，所以时间复杂度为 O(n) ，其中 n 是 values 数组的长度。

空间复杂度

由于只使用了常数级的额外空间，空间复杂度为 O(1) 。