最大矩形面积问题 | 2024 刷题掘金 MarsCode 中等题小S最近在分析一个数组 ℎ1,ℎ2,...,ℎ𝑁，

问题描述

小S最近在分析一个数组 ℎ1,ℎ2,...,ℎ𝑁，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 𝑘 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。

对于 𝑘 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为：

𝑅(𝑘)=𝑘×𝑚𝑖𝑛(ℎ[𝑖],ℎ[𝑖+1],...,ℎ[𝑖+𝑘−1])R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])

即，𝑅(𝑘) 的值为这 k 个相邻元素中的最小值乘以 𝑘。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 𝑘，𝑅(𝑘) 的最大值。

测试样例

样例1：

输入：n = 5, array = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：9

样例2：

输入：n = 6, array = [5, 4, 3, 2, 1, 6]
输出：9

样例3：

输入：n = 4, array = [4, 4, 4, 4]
输出：16

问题分析

分析题目，要求计算 k 个相邻元素中最小值乘以 k 的最小值，当 k 值增加的时候，k 增大，最小值元素可能会降低。（1）考虑当 k 增加到 k + 1时， R(k）最大值的变化；（2）考虑数组长度从 N 到 N + 1时，R(k) 最大值的变化；因此这道题很明显时利用动态规划的方式来求解。

定义状态

定义状态dp(i,j)，表示当数组长度不超过 j，k值不超过 i 的情况下，R的最大值。

初始条件

min(i,j) 表示从 j-i+1 到 j的数组的最小值。
min(1,j) = A(j)。
dp(1,1) = A(1)，当 k 值为1时， N =1，截取长度为1，R(k)等于数组元素本身。
dp(1,j) = max{ dp(1, j-1), min(1, j)}。表示是否考虑第 j 个数。

状态转移方程

dp(i, j) = max{ dp(i, j-1), min(i, j) * i, dp(i-1, j) }

状态转移分为两步：（1）当 j 增大到 j+1 时，R(k)最大值变化。（2）当 k 增大到 k+1 时， R(k)最大值变化。

解题步骤

根据定义状态、设置初始条件和状态转移方程的顺序，得到解题步骤为：

通过遍历得到min(i,j)矩阵，mins[i][j] = Math.min(mins[i-1][j], array[j-i]);，当 k 和 N 长度变化，都会影响子数组的最小值。
设置初始条件，即dp(1,j)的值。
实现状态转移方程，当 i 从1遍历到n，j从1遍历到n，每次状态转移得到的dp(i,j)值。
dp(n,n)表示当数组长度不超过 n，k值不超过 n 的情况下，R的最大值。即最终的问题输出。

完整代码实现

import java.util.Arrays;

public class Main {
    public static int solution(int n, int[] array) {
        // 定义状态
        int[][] dp = new int[n][n]; // dp[i][j] 表示前面索引不超过i个数据中，选择不超过j个数的最大R值。

        // 初始化
        for(int i=0; i<n; i++){
            Arrays.fill(dp[i], 0);
        }
        int[][] mins= new int[n][n];
        for(int i=0; i<n; i++){
            mins[0][i] = array[i];
        }
        for(int i=1; i<n; i++){
            for(int j=i; j<n; j++){
                mins[i][j] = Math.min(mins[i-1][j], array[j-i]);
            }
        }

        // 第一个数，只选一个数，最大R值就是它本身。
        dp[0][0] = array[0];
        // 索引不超过j，只选一个数，最大R值就是它本身，或者前面j-1个数中的最大R
        for(int j=1; j<n; j++){
            dp[0][j] = Math.max(dp[0][j-1], array[j]);
        }
//        // 索引不超过i，选择不超过i个数的最大R值。
//        for(int i=1; i<n; i++){
//            dp[i][i] = Math.max(dp[i-1][i], mins[i]*(i+1));
//        }

        for(int i=1; i<n; i++){
            for(int j=i; j<n; j++){
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], mins[i][j]*(i+1));
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j-1]);
            }
        }

        return dp[n-1][n-1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        // Add your test cases here
        
        System.out.println(solution(5, new int[]{1, 2, 3, 4, 5}) == 9);
    }
}

问题总结

本题考察的是动态规划的求解问题，强调如何通过分析问题找到动态规划求解问题的思路。问题如果存在状态转移方程，极有可能通过动态规划的思路来求解。步骤包括定义状态、设置初始条件和定义状态转移方程。

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