题解
这道题要求我们计算在给定的n张卡牌中，通过选择每张卡牌的一面（正面或背面），使得所有向上的数字之和可以被3整除的不同方案数。为了解决这个问题，我们可以使用动态规划的方法来追踪到目前为止的所有可能的和对3取模的结果。
动态规划状态定义
dp[i][j]表示前i张卡牌中，选择某些卡牌使得这些卡牌上数字之和模3余j的方案数。i的范围是[0, n]，其中n是卡牌总数。j的范围是[0, 2]，表示当前累计和对3取模的结果。
状态转移
对于每一张卡牌，我们有两种选择：
- 选择这张卡牌的正面，此时新的累积和将是
(j + a[i-1]) % 3。 - 选择这张卡牌的背面，此时新的累积和将是
(j + b[i-1]) % 3。
基于上述两种选择，我们可以更新 dp[i][newSum1] 和 dp[i][newSum2]，其中 newSum1 = (j + a[i-1]) % 3 和 newSum2 = (j + b[i-1]) % 3。
初始条件
- 当没有选择任何卡牌时，即
i=0时，只有当和为0的情况有一种方案，因此dp[0][0] = 1。
最终结果
- 我们需要找到所有n张卡牌中，总和模3余0的方案数，即
dp[n][0]。
代码实现
public class Main {
public static int solution(int n, int[] a, int[] b) {
int MOD = 1000000007;
// dp[i][j] 表示前 i 张卡牌中，选择某些卡牌使得和模3余 j 的方案数
int[][] dp = new int[n + 1][3];
// 初始化：前0张卡牌，和为0的方案数为1
dp[0][0] = 1;
// 遍历每一张卡牌
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 当前卡牌的正面和背面数字
int front = a[i - 1];
int back = b[i - 1];
// 更新 dp 数组
for (int j = 0; j < 3; j++) {
// 选择正面的情况
int newSum1 = (j + front) % 3;
dp[i][newSum1] = (dp[i][newSum1] + dp[i - 1][j]) % MOD;
// 选择背面的情况
int newSum2 = (j + back) % 3;
dp[i][newSum2] = (dp[i][newSum2] + dp[i - 1][j]) % MOD;
}
}
// 最终答案是前 n 张卡牌中，和模3余0的方案数
return dp[n][0];
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(3, new int[]{1, 2, 3}, new int[]{2, 3, 2}) == 3);
System.out.println(solution(4, new int[]{3, 1, 2, 4}, new int[]{1, 2, 3, 1}) == 6);
System.out.println(solution(5, new int[]{1, 2, 3, 4, 5}, new int[]{1, 2, 3, 4, 5}) == 32);
}
}
感想总结
解决这类问题的关键在于理解如何将问题分解成更小的子问题，并利用动态规划来有效地存储中间结果，从而避免重复计算。本题中，通过对每张卡牌的两种选择进行状态转移，能够有效地计算出满足条件的方案数量。这种方法不仅适用于本题，也广泛应用于其他组合优化问题中。
此外，处理大数时，使用模运算可以有效防止数值溢出。在实际应用中，这种技巧对于确保程序的稳定性和正确性非常重要。通过练习这样的题目，可以增强对动态规划的理解，并提高解决复杂问题的能力。
