刷题笔记：水果店果篮最小成本问题 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小C开了一家水果店，接到一个大订单，需要将 n 个编号为 1 到 n 的水果打包成多个果篮。每个果篮的最大容量为 m 个水果，并且水果的编号必须是连续的。每个果篮的成本是根据水果的体积来计算的，成本公式如下：

其中：

• k 是果篮中水果的数量。
• u 是果篮中水果的最大体积。
• v 是果篮中水果的最小体积。
• s 是一个常数。

目标是将 n 个水果分成若干个果篮，使得总成本最小。

问题剖析

1. 果篮的最大容量：每个果篮最多只能装 m 个水果，且水果编号必须是连续的。
2. 成本计算公式：对于每个果篮，我们需要计算其最大体积、最小体积，然后根据公式计算该果篮的成本。
3. 最小化总成本：我们需要将水果分组成多个果篮，且每个组的水果编号是连续的，目标是使得分组的总成本最小。

解题思路

1. 动态规划： 我们可以利用动态规划来解决这个问题。设定 dp[i] 表示将前 i 个水果分成若干个果篮的最小成本。

2. 状态转移： 对于每个水果 i，我们可以考虑从 j 到 i 这一段水果作为一个果篮，其中 j 代表上一个果篮的结束位置。通过计算该段水果的最大体积 u 和最小体积 v，可以得到这一段果篮的成本。

3. 状态转移公式：

   • 对于每一个 i，从 i - m 到 i-1 的每一个可能的 j 都可以形成一个新的果篮。我们需要根据当前的 j 和 i 来计算果篮的成本并更新 dp[i]。
   • 使用最大体积和最小体积来计算当前果篮的成本，更新 dp[i]。

4. 最终目标： 最终，dp[n] 即为将 n 个水果分成若干个果篮的最小成本。

代码实现

python
复制代码
def solution(n: int, m: int, s: int, a: list) -> int:
    # dp[i]表示前i个水果打包成若干个果篮的最小成本
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    dp[0] = 0  # 没有水果时，成本为0
    
    # 遍历每个可能的水果数目
    for i in range(1, n + 1):
        max_val = a[i - 1]
        min_val = a[i - 1]
        # 尝试将i个水果放到不同的果篮
        for j in range(i - 1, max(i - m - 1, -1), -1):
            # 更新当前果篮的最大最小体积
            max_val = max(max_val, a[j])
            min_val = min(min_val, a[j])
            # 计算当前果篮的成本
            cost = (i - j) * ((max_val + min_val) // 2) + s
            # 更新dp[i]的值
            dp[i] = min(dp[i], dp[j] + cost)
    
    return dp[n]

# 测试用例
if __name__ == '__main__':
    print(solution(6, 4, 3, [1, 4, 5, 1, 4, 1]) == 21)
    print(solution(5, 3, 2, [2, 3, 1, 4, 6]) == 17)
    print(solution(7, 4, 5, [3, 6, 2, 7, 1, 4, 5]) == 35)

代码解析

1. 初始化：

   • dp 数组用于记录到每个水果位置 i 的最小成本。初始化时，dp[0] = 0，表示没有水果时没有成本。
   • 其他 dp[i] 初始为正无穷，表示还没有计算到达该位置的最小成本。

2. 动态规划的状态转移：

   • 对于每个位置 i，我们尝试选择一个合适的起始位置 j 来划定一个新的果篮（a[j...i]）。每次更新 dp[i]，计算从 j 到 i 的果篮成本，并更新 dp[i] 为最小值。

3. 成本计算：

   • 对每一个划定的果篮，我们计算它的最大值 max_val 和最小值 min_val，然后根据给定的公式计算成本。

4. 返回结果：

   • 最终 dp[n] 给出了最优的打包方案对应的最小成本。

时间复杂度分析

• 外层循环遍历所有 n 个水果，时间复杂度为 O(n)。
• 内层循环会遍历至 m 个水果，计算每个果篮的成本，所以最坏情况下每次内层循环的复杂度为 O(m)。

因此，总的时间复杂度为 O(n * m)。

刷题思路总结

1. 动态规划的应用：通过动态规划思想，我们能够分解问题，将其转化为求解子问题的形式。每个状态 dp[i] 表示前 i 个水果的最小打包成本，而每个子问题 dp[i] 依赖于前面 m 个水果的选择情况。
2. 状态转移的细节：内层循环的设计是从当前水果位置 i 向前探索所有可能的划分位置 j。这种方法可以确保每个可能的果篮分组都能被计算到。
3. 复杂度控制：虽然内层循环可能看起来有点多余，但通过限制内层循环的最大迭代次数为 m，我们能够控制算法的时间复杂度。
4. 数学公式的理解：题目中的成本公式需要理解如何根据最大值、最小值和水果数量来计算成本，这一部分逻辑需要清晰地在代码中实现。

通过这道题，可以进一步加强对动态规划的理解，特别是在涉及最小化或最大化问题时的应用。同时，注意到每个果篮的最大容量和连续性要求，解决了一个实际的分组问题。