数组元素之和最小化 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小C希望构造一个包含 n 个元素的数组，并满足以下条件：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数 (GCD) 为 k。
3. 数组元素之和尽可能小。

任务是输出满足条件的数组元素之和的最小值。

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示例分析

样例1

输入：
n = 3, k = 1

分析：

• 数组的 GCD 为 1，说明数组中的元素可以为任意正整数。
• 要求和尽可能小，优先选择从 1 开始的连续正整数。
• 数组为 [1, 2, 3]，和为 1 + 2 + 3 = 6。

输出： 6

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样例2

输入：
n = 2, k = 2

分析：

• 数组的 GCD 为 2，所有元素必须是 2 的倍数。
• 要求和尽可能小，优先选择从 2 开始的连续正整数的倍数。
• 数组为 [2, 4]，和为 2 + 4 = 6。

输出： 6

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样例3

输入：
n = 4, k = 3

分析：

• 数组的 GCD 为 3，所有元素必须是 3 的倍数。
• 要求和尽可能小，优先选择从 3 开始的连续正整数的倍数。
• 数组为 [3, 6, 9, 12]，和为 3 + 6 + 9 + 12 = 30。

输出： 30

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解决思路

思路解析

1. 关键条件
   数组的所有元素的最大公约数为 $k$，说明数组元素可以表示为：

   $$a_i = k \times b_i$$

   其中，$b_i$ 是一个正整数，并且数组中的 $b_i$ 值需要两两不同。

2. 如何使和最小

   • 让 $b_i$ 为从 1 开始的连续正整数：1, 2, ..., n。
   • 数组元素为：
     $$a_i = k \times i \quad (i = 1, 2, ..., n)$$

3. 计算最小和

   • 数组元素之和为：
     $$\text{sum} = k \times (1 + 2 + ... + n)$$
   • 等差数列求和公式：
     $$1 + 2 + ... + n = \frac{n \times (n + 1)}{2}$$
   • 因此：
     $$\text{sum} = k \times \frac{n \times (n + 1)}{2}$$

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代码实现

def solution(n: int, k: int) -> int:
    # 利用公式计算数组最小和
    return k * (n * (n + 1)) // 2

# 测试用例
if __name__ == '__main__':
    print(solution(3, 1) == 6)  
    print(solution(2, 2) == 6)  
    print(solution(4, 3) == 30)

知识总结与学习建议

知识总结

1. 最大公约数的应用：

数组的 GCD 限制了元素的倍数关系，需要通过构造公式满足条件。

2. 等差数列求和公式：

利用公式快速计算总和，简化了代码复杂度。

3. 时间复杂度优化：

通过数学推导直接求解，避免了复杂的循环操作。

4. 边界条件的处理：

包括 n=1 和 k=1 的情况需要特别注意，保证数组元素满足所有要求。

学习建议

1. 数学公式的熟练掌握：

学习并熟练使用等差数列等常用数学公式，能大幅提高解题效率。

2. 边界条件的考虑：

测试用例需要覆盖到最小值和最大值的场景，确保代码鲁棒性。

3. 算法优化：

通过简单公式推导解决复杂问题，减少不必要的循环操作。

工具运用

1. 使用AI刷题工具快速生成题目和测试用例。

2. 借助数学可视化工具（如 Wolfram Alpha）验证公式正确性。

通过系统化练习和工具辅助，逐步提升数学和算法结合题目的解题能力。