古生物DNA序列血缘分析 最长公共子序列 ｜ 豆包MarsCode AI 刷题

问题描述

小U是一位古生物学家，正在研究不同物种之间的血缘关系。为了分析两种古生物的血缘远近，她需要比较它们的DNA序列。DNA由四种核苷酸A、C、G、T组成，并且可能通过三种方式发生变异：添加一个核苷酸、删除一个核苷酸或替换一个核苷酸。小U认为两条DNA序列之间的最小变异次数可以反映它们之间的血缘关系：变异次数越少，血缘关系越近。

你的任务是编写一个算法，帮助小U计算两条DNA序列之间所需的最小变异次数。

• dna1: 第一条DNA序列。
• dna2: 第二条DNA序列。

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测试样例

样例1：

输入：dna1 = "AGT",dna2 = "AGCT"
输出：1

样例2：

输入：dna1 = "AACCGGTT",dna2 = "AACCTTGG"
输出：4

样例3：

输入：dna1 = "ACGT",dna2 = "TGC"
输出：3

样例4：

输入：dna1 = "A",dna2 = "T"
输出：1

样例5：

输入：dna1 = "GGGG",dna2 = "TTTT"
输出：4

问题分析

在算法中，我们经常遇到处理子数组/字串，或子序列的问题，它们的区别在于前二者可以是不连续的，而子序列是连续的。对于这个问题表面上看是处理字串，但在解决时其实是对于求最大公共子序列的一个变形，为什么这么处理我后面会提到。

我们先处理它们的最大子序列，我们设dna1的序列长度为n，dna2的序列长度为m。和背包问题一样，子序列本质上也是考虑每个字母选或者不选。假设最后一对字母为x和y，那么就会出现4种情况，即选x和y，选x不选y，选y不选x，不选x不选y。假设我们都不选，那么问题就变成前n-1和前m-1个字母的子问题了。再一般化，考虑dna1[i],dna2[j]选或者不选，就确定了递归参数中的i和j表示的子问题就是dna1的前i个字母和dna2的前j个字母的最长公共子序列的长度。

现在就出现了两个情况，即dna1[i]和dna2[j]是否相同，如果它们相同，那么我们可以直接进入dfs(i-1,j-1)，如果不同，那我们就需要递归计算dfs(i-1,j),dfs(i,j-1),dfs(i-1,j-1)的最小值并加上1作为返回值，即进行了一次增删改的操作。

回到刚才的问题，为什么可以近似看作求最大子序列长度呢？删除一个字母，相当于是去掉dna1[i]，插入一个字母，相当于是去掉dna2[j]，如果它们相同，就可以都去掉，并且如果他们两个不相同，还可以进行替换操作，等价于把他们两个都去掉。

需要注意的是，如果其中一个dna链已经到了尽头，如i<0，那么相当于dna2链中剩下的字母都需要去掉，即需要j+1步操作完成。

代码实现

-   时间复杂度：O(nm)
-   空间复杂度：O(nm)

本题总结

1. 递归与记忆化：

   • 使用了递归函数 f(i, j) 来计算 dna1 和 dna2 之间的最小变异次数。
   • 通过 @lru_cache 装饰器实现了记忆化，避免了重复计算，提高了效率。

2. 边界条件：

   • 当 i < 0 时，表示 dna1 已经处理完毕，剩下的 dna2 的长度即为需要插入的次数。
   • 当 j < 0 时，表示 dna2 已经处理完毕，剩下的 dna1 的长度即为需要删除的次数。

3. 状态转移：

   • 如果 dna1[i] == dna2[j]，则不需要任何操作，直接返回 f(i-1, j-1)。
   • 否则，返回三种操作（插入、删除、替换）的最小值加一。

4. 最终结果：

   • 通过 f(n-1, m-1) 计算出 dna1 和 dna2 之间的最小变异次数，其中 n 和 m 分别是 dna1 和 dna2 的长度。