问题描述
问题描述
小F制定了一份刷题计划，她找到了一共有n套试卷，每套试卷的题目数量为a_i。她希望每天刷的题目总数是k的倍数。小F每天最多可以在上午和下午各刷一套试卷，也可以选择不刷题。现在，她需要知道最多能刷多少天的题。
测试样例
样例1：
输入：
n = 5 ,k = 3 ,a = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：1
样例2：
输入：
n = 5 ,k = 3 ,a = [1, 1, 1, 1, 1]
输出：0
样例3：
输入：
n = 6 ,k = 4 ,a = [3, 1, 4, 1, 5, 9]
输出：1
问题分析
本问题的目标是优化小F刷题的策略，以最大化满足以下条件的天数： 每天刷题的总数必须是 k 的倍数，且每天最多可以选择两套试卷（分别在上午和下午刷）。每套试卷的题目数是固定的，不能拆分或调整。 因此需要通过合理的试卷组合，尽可能多地满足条件，从而计算最多可以刷题的天数。
分析与思路
1. 约束条件分析
每天刷题的总数为 k 的倍数：设每天刷的两套试卷题目数为 𝑎𝑖和 a j，则必须满足： (𝑎𝑖+𝑎𝑗)%𝑘=0或者：𝑎𝑖%𝑘=0 （单独刷一套题且满足条件）。 每天最多两套试卷：小F只能从题库中选择两套试卷来满足上述条件，且选择后试卷不可重复使用。
2. 数据分类与利用
每个试卷的题目数 𝑎𝑖对k 的余数是固定的，即： remainder=𝑎𝑖%𝑘 因此，可以将试卷按余数进行分组。例如，若 k=3，题目数为 [1,2,3,4,5]，则对应的余数分组为： 余数 0：[3]， 余数 1：[1,4]， 余数 2：[2,5]。
3. 配对策略
对于每组余数，分别处理： 余数为 0：这些试卷可以单独满足 k 倍数的条件，因此从中最多能刷： count0=size of group 0//2 天（每天刷两套）。 其他余数对：对于余数 i 和 k−i，它们可以配对使得总和为 k 的倍数。配对后从两组中尽可能多地刷题： counti =min(size of group i,size of group k−i) 特殊情况（k 为偶数）：如果 i=k/2，则这一组中的试卷只能内部配对，因此从中最多能刷： countk/2 =size of group k/2//2
算法流程
统计余数分布：遍历数组 a，统计每个余数出现的次数。 计算单独满足条件的天数：处理余数为 0 的试卷。 配对满足条件的天数：处理互补余数对（如余数 1 和 k−1）。 特殊余数处理（如果 k 为偶数）：处理余数为 k/2 的试卷。 返回结果：累加所有满足条件的天数。
代码实现
def solution(n: int, k: int, a: list) -> int:
from collections import Counter
# 统计余数出现的次数
remainder_count = Counter(x % k for x in a)
# 初始化可以刷题的天数
days = 0
# 处理余数为 0 的情况
days += remainder_count[0] // 2
# 处理其他余数对
for i in range(1, (k // 2) + 1):
if i == k - i: # 特殊情况，余数为 k/2
days += remainder_count[i] // 2
else:
days += min(remainder_count[i], remainder_count[k - i])
return days
复杂度分析
时间复杂度
遍历试卷数组 a 时需要 O(n)。 配对时最多遍历 k 个余数组。
空间复杂度
需要一个大小为 k 的数组来存储每个余数的计数。
总结
本题通过分类和分组的方式将刷题问题转化为数学配对问题，利用余数的性质和动态统计的思想高效地计算最大刷题天数。 使用了 O(n) 的线性时间复杂度，适用于大规模数据输入。
