补给站最优花费问题

题目类型

思维题、贪心、动态规划

问题描述

小U计划进行一场从地点A到地点B的徒步旅行，旅行总共需要 M 天。为了在旅途中确保安全，小U每天都需要消耗一份食物。在路程中，小U会经过一些补给站，这些补给站分布在不同的天数上，且每个补给站的食物价格各不相同。

小U需要在这些补给站中购买食物，以确保每天都有足够的食物。现在她想知道，如何规划在不同补给站的购买策略，以使她能够花费最少的钱顺利完成这次旅行。

M：总路程所需的天数。
N：路上补给站的数量。
p：每个补给站的描述，包含两个数字 A 和 B，表示第 A 天有一个补给站，并且该站每份食物的价格为 B 元。

保证第0天一定有一个补给站，并且补给站是按顺序出现的。

测试样例

样例1：

输入：m = 5 ,n = 4 ,p = [[0, 2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]]
输出：7

样例2：

输入：m = 6 ,n = 5 ,p = [[0, 1], [1, 5], [2, 2], [3, 4], [5, 1]]
输出：6

样例3：

输入：m = 4 ,n = 3 ,p = [[0, 3], [2, 2], [3, 1]]
输出：9

思路分析

对于这个题目，是一个最小化花费的问题，在这个情况下，在每一天应该尽可能贪心地选择花费最少的时候买入，当然包括在接下来的天数里，如果今天是最便宜的，那么也在今天买入。
那么现在有个问题就是，怎么在今天知道以后天数是否比较贵，怎么决定是否就在今天买，可以发现其实就是从到每一天的时候，在前面最便宜的一天买，但是注意不能在后面的天数买，因为时间还没到。
那么转化一下思维，就可以用一个数组来维护前缀最小值的信息，也就是到每天的时候，在今天之前里面最小的值是多少，用这个最小值来表示今天消费一个食物所需要的花费是多少。
这有点动态规划的思想，可以用一个dp数组来表示，注意初始化和边界情况，这里为了方便处理，就把dp数组初始化为inf，因为是为了保留最小值。那么转移方程就是：dp[i] = min(dp[i-1], dp[i])。
通过处理出dp数组后，遍历每一天，累加得到最后的结果。

代码分析

数据结构选择：

使用 std::map<int, int> 来存储补给站的信息，也就是前面提到的dp数组，其中键是天数，值是食物的价格。
std::map 可以自动排序，并且可以通过键快速查找，便于后续处理。

算法逻辑：

遍历每一天，并在每一天中找到当前最便宜的食物价格，然后累加到结果中。
注意是在每一天都重新计算最便宜的价格，不能考虑未来补给站的价格，因为还没到那一天。

具体实现：

可以考虑使用动态规划来优化算法。定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示在第 i 天结束时，小U花费的最小金额。
状态转移方程可以考虑从之前的某一天购买食物，直到第 i 天。
遍历每一天时，维护一个当前最便宜的价格。
处理所有可能的边界条件，这里因为使用取min的形式减少了很多不必要的边界判断。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>

int solution(int m, int n, std::vector<std::vector<int>> p) {
    int mi = 1e9,res =0;
    std::map<int, int> dp;
    for(auto x : p) {
        dp[x[0]] = x[1];
    }
    for(int i = 0; i < m; i++) {
        if(dp[i] == 0) dp[i] = 1e9;
        mi = std::min(mi, dp[i]);
        res += mi;
    }
    return res;
}