卡牌翻面求和问题
难度：难
问题描述
小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 aiai，背面是 bibi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3
样例2：
输入：
n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6
样例3：
输入：
n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32
问题分析
这个问题是一个典型的动态规划问题，我们的目标是通过选择每张卡牌的正面或背面，使得所有选中的卡牌上的数字之和能够被 3 整除。
解决思路
-
状态定义：
设dp[r]表示当前选中的卡牌数字和对 3 取余等于r的方案数，其中r可能是 0, 1 或 2。即：dp[0]：数字和除以 3 的余数为 0 的方案数。dp[1]：数字和除以 3 的余数为 1 的方案数。dp[2]：数字和除以 3 的余数为 2 的方案数。
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初始状态：
最初没有选择任何卡牌，所以只有一种方案（即空集），即dp[0] = 1（和为 0），而dp[1] = 0和dp[2] = 0。 -
状态转移：
对于每一张卡牌，我们有两种选择：- 选择卡牌的正面
a[i]，这样我们会从当前余数r转移到新的余数(r + a[i]) % 3。 - 选择卡牌的背面
b[i]，这样我们会从当前余数r转移到新的余数(r + b[i]) % 3。
对于每张卡牌，我们会更新
dp数组，使得新的状态能够反映当前选卡牌的正面或背面。 - 选择卡牌的正面
-
状态更新：
每次更新时，我们必须注意更新顺序。为了避免在同一轮计算中使用未更新的状态，应该先记录当前的状态（通过dp数组），然后使用new_dp数组来存储更新后的结果。 -
最终结果：
最终，我们关心的是dp[0]，即所有选中的卡牌上的数字和能够被 3 整除的方案数。
MOD = 10**9 + 7
def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
# dp[r] 表示当前和为 r % 3 的方案数
dp = [0] * 3
dp[0] = 1 # 初始时和为 0 的方案数为 1
for i in range(n):
# 新的 dp 数组，用来存储当前轮次的更新结果
new_dp = [0] * 3
for r in range(3):
new_dp[(r + a[i]) % 3] = (new_dp[(r + a[i]) % 3] + dp[r]) % MOD
new_dp[(r + b[i]) % 3] = (new_dp[(r + b[i]) % 3] + dp[r]) % MOD
dp = new_dp
# 最终我们需要 dp[0] 的值，即总和可以被 3 整除的方案数
return dp[0]
时间复杂度
- 遍历每张卡牌一次，且每张卡牌需要遍历 3 种余数。因此时间复杂度是 O(n * 3) = O(n)，其中 n 是卡牌的数量。
空间复杂度
- 由于我们只需要一个大小为 3 的
dp数组，所以空间复杂度为 O(3) = O(1)，即常数空间。
