80题｜豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小R近期表现出色，公司决定以股票的形式给予奖励，并允许他在市场上进行交易以最大化收益。给定一个数组，数组中的第 i 个元素代表第 i 天的股票价格。小R需要设计一个算法来实现最大利润。

股票交易规则如下：

• 小R可以多次买卖股票，但在买入新的股票前必须卖出之前的股票。
• 每次卖出股票后存在一天的冷冻期，在冷冻期内小R不能购买股票。

你的任务是帮助小R计算出在遵守交易规则的情况下能够获得的最大利润。

• stocks: 一个整数列表，表示连续几天内的股票价格。 思路分析

这道题目要求设计一个算法来最大化股票交易的利润，具有以下特点：

1. 交易规则：可以多次买入和卖出，但卖出后必须有一天的冷却期，期间不能再次买入。
2. 目标：在整个交易过程中，获取的总利润最大化。
3. 限制条件：每次买入需要卖出才能再买入，不能同时持有多个股票。

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划（DP）来实现。动态规划的核心是将复杂问题分解为多个子问题，并通过递推公式高效地解决。

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核心思想

动态规划通过定义状态来跟踪每天的决策和对应的最大利润。本题可以用三种状态来表示：

1. hold[i]：第 ( i ) 天手里持有股票时的最大利润。
2. cooldown[i]：第 ( i ) 天刚卖出股票（处于冷却期）的最大利润。
3. rest[i]：第 ( i ) 天未持有股票，且没有处于冷却期的最大利润。

每个状态都有对应的递推公式，这些公式用来更新每天的最大利润。

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状态转移方程

1. hold[i]：

   • 第 ( i ) 天持有股票的最大利润有两种可能：
     1. 第 ( i-1 ) 天已经持有股票，不进行任何操作，利润为 hold[i-1]。
     2. 第 ( i-1 ) 天未持有股票且不处于冷却期，今天买入股票，利润为 rest[i-1] - stocks[i]。
   • 状态转移方程： [ hold[i] = \max(hold[i-1], rest[i-1] - stocks[i]) ]

2. cooldown[i]：

   • 第 ( i ) 天处于冷却期的最大利润，只有一种可能：
     • 第 ( i-1 ) 天持有股票，并在今天卖出股票，利润为 hold[i-1] + stocks[i]。
   • 状态转移方程： [ cooldown[i] = hold[i-1] + stocks[i] ]

3. rest[i]：

   • 第 ( i ) 天未持有股票且不处于冷却期的最大利润有两种可能：
     1. 第 ( i-1 ) 天也处于休息状态，利润为 rest[i-1]。
     2. 第 ( i-1 ) 天处于冷却期，利润为 cooldown[i-1]。
   • 状态转移方程： [ rest[i] = \max(rest[i-1], cooldown[i-1]) ]

4. 初始条件：

   • 第一天持有股票：hold[0] = -stocks[0]（买入股票，利润为负）。
   • 第一天未持有股票且未处于冷却期：rest[0] = 0。
   • 第一天处于冷却期：cooldown[0] = 0（不可能在第一天卖出股票）。

5. 最终结果：

   • 在最后一天，手里不持有股票的最大利润可以是：
     1. 处于冷却期：cooldown[-1]。
     2. 处于休息状态：rest[-1]。
   • 返回： [ \max(cooldown[-1], rest[-1]) ]

算法实现

以下是 Python 实现代码：

def solution(stocks):
    n = len(stocks)
    if n == 0:
        return 0

    # 初始化状态
    hold = [0] * n
    cooldown = [0] * n
    rest = [0] * n

    # 初始条件
    hold[0] = -stocks[0]
    cooldown[0] = 0
    rest[0] = 0

    # 状态转移
    for i in range(1, n):
        hold[i] = max(hold[i - 1], rest[i - 1] - stocks[i])
        cooldown[i] = hold[i - 1] + stocks[i]
        rest[i] = max(rest[i - 1], cooldown[i - 1])

    # 返回最后一天的最大利润
    return max(cooldown[-1], rest[-1])

时间与空间复杂度

1. 时间复杂度：(O(n))
   • 只需单次遍历数组。
2. 空间复杂度：(O(n))
   • 使用了三个长度为 (n) 的辅助数组。