小C的数字倍数问题

问题理解

我们需要计算在区间 [l, r] 内，有多少个数是 a 的倍数，或者是 b 的倍数，或者是 c 的倍数。

数据结构与算法选择

1. 直接计数法：我们可以遍历区间 [l, r] 内的每一个数，检查它是否是 a、b 或 c 的倍数，如果是则计数加一。这种方法的时间复杂度是 O((r - l) * 3)，即 O(n)，其中 n 是区间长度。
2. 数学方法：我们可以利用数学公式来计算。具体来说，我们可以计算区间 [l, r] 内 a、b、c 的倍数的个数，然后使用容斥原理来避免重复计数。这种方法的时间复杂度是 O(1)。

算法步骤

1. 计算单个倍数的个数：

   • 计算 a 的倍数的个数：countA = (r / a) - ((l - 1) / a)
   • 计算 b 的倍数的个数：countB = (r / b) - ((l - 1) / b)
   • 计算 c 的倍数的个数：countC = (r / c) - ((l - 1) / c)

2. 计算两个数的公倍数的个数：

   • 计算 a 和 b 的公倍数的个数：countAB = (r / lcm(a, b)) - ((l - 1) / lcm(a, b))
   • 计算 a 和 c 的公倍数的个数：countAC = (r / lcm(a, c)) - ((l - 1) / lcm(a, c))
   • 计算 b 和 c 的公倍数的个数：countBC = (r / lcm(b, c)) - ((l - 1) / lcm(b, c))

3. 计算三个数的公倍数的个数：

   • 计算 a、b 和 c 的公倍数的个数：countABC = (r / lcm(a, b, c)) - ((l - 1) / lcm(a, b, c))

4. 使用容斥原理计算总数：

   • 总数 = countA + countB + countC - countAB - countAC - countBC + countABC

   代码框架

   public class Main { public static int solution(int a, int b, int c, int l, int r) { // 计算单个倍数的个数 int countA = (r / a) - ((l - 1) / a); int countB = (r / b) - ((l - 1) / b); int countC = (r / c) - ((l - 1) / c);

   // 计算两个数的公倍数的个数
   int countAB = (r / lcm(a, b)) - ((l - 1) / lcm(a, b));
   int countAC = (r / lcm(a, c)) - ((l - 1) / lcm(a, c));
   int countBC = (r / lcm(b, c)) - ((l - 1) / lcm(b, c));
   
   // 计算三个数的公倍数的个数
   int countABC = (r / lcm(a, b, c)) - ((l - 1) / lcm(a, b, c));
   
   // 使用容斥原理计算总数
   int totalCount = countA + countB + countC - countAB - countAC - countBC + countABC;
   
   return totalCount;
   }
   
   // 计算两个数的最小公倍数
   private static int lcm(int a, int b) {
   return a * (b / gcd(a, b));
   }
   
   // 计算三个数的最小公倍数
   private static int lcm(int a, int b, int c) {
       return lcm(lcm(a, b), c);
   }
   
   // 计算两个数的最大公约数
   private static int gcd(int a, int b) {
   while (b != 0) {
       int temp = b;
       b = a % b;
       a = temp;
   }
   return a;
   }
   
   public static void main(String[] args) {
   System.out.println(solution(2, 3, 4, 1, 10) == 7);
   System.out.println(solution(5, 7, 11, 15, 100) == 34);
   System.out.println(solution(1, 1, 1, 1, 1000) == 1000);
   }
   }
   

   关键步骤

• 计算单个倍数的个数：使用整除运算符 / 计算区间内 a、b、c 的倍数的个数。
• 计算公倍数的个数：使用 lcm 函数计算两个数或三个数的最小公倍数，然后计算公倍数的个数。
• 使用容斥原理：通过加减不同组合的倍数个数来避免重复计数。

提示

• 你可以先实现 gcd 和 lcm 函数，然后再实现 solution 函数。
• 确保 lcm 函数能够正确处理两个数和三个数的情况。