问题描述
小M有 n 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 ai，背面是 bi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 10^9+7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
问题分析
这道题的核心在于一个组合选择问题：对于每张卡牌，我们需要在正面或反面之间做出选择，从而使得所有朝上的数字之和满足整除3的条件。这种问题通常涉及到有限状态的枚举和动态规划的技巧应用。
我们需要逐步分析每张卡牌的两种可能性（正面或反面朝上），并维护能够被3整除的情况数。
具体分析如下：
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状态定义
定义一个二维DP数组 dp[i][j]：表示前 i 张卡牌中，选择某些面向上的数字总和模3后等于 j 的方案数。
其中：- i 表示前 i 张卡牌。
- j 的取值范围是 0,1,2，分别表示模3余数为0、1或2的情况。
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状态转移方程
对于每张卡牌 i，有两种选择：- 正面朝上，向总和中添加数字 a[i−1]。
- 反面朝上，向总和中添加数字 b[i−1]。
根据当前总和模3的结果（mod），更新下一张卡牌的状态：
dp[i][(mod+a[i−1])%3]+=dp[i−1][mod]
dp[i][(mod+b[i−1])%3]+=dp[i−1][mod]
注意，每次累加后需要对 10^9+7 取模，避免溢出。
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初始化
边界条件是没有卡牌时的初始状态：dp[0][0]=1
这表示没有卡牌时，数字总和为0模3的方案数为1。
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结果计算
最终答案是 dp[n][0]，表示前 n 张卡牌中，总和模3等于0的方案数。
算法实现
以下是Python实现代码：
def count_ways_to_divisible_by_3(n, a, b):
MOD = 1e9 + 7
# 初始化DP数组
dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
dp[0][0] = 1 # 初始状态
for i in range(1, n + 1):
for mod in range(3):
# 更新当前卡牌正面选择后的状态
dp[i][(mod + a[i-1]) % 3] += dp[i-1][mod]
dp[i][(mod + a[i-1]) % 3] %= MOD
# 更新当前卡牌反面选择后的状态
dp[i][(mod + b[i-1]) % 3] += dp[i-1][mod]
dp[i][(mod + b[i-1]) % 3] %= MOD
return dp[n][0]
复杂度分析
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时间复杂度
外层循环遍历 n 张卡牌，内层循环遍历模3的3种状态，总体复杂度为 O(3×n)=O(n)。 -
空间复杂度
使用了一个大小为 n×3 的DP数组，因此空间复杂度为 O(3×n)=O(n)。
