青训营X豆包MarsCode 技术训练营之子数组和的最大值问题｜豆包MarsCode AI 刷题这道题目要求我们从一

问题描述

小U手上有一个整数数组，他想知道如果从数组中删除任意一个元素后，能得到的长度为 k 的子数组和的最大值。你能帮小U计算出这个结果吗？
如果数组恰好为 k 个元素，那么不进行删除操作。

测试样例

样例1：

输入：n = 5,k = 3,nums = [2, 1, 3, -1, 4]
输出：8

样例2：

输入：n = 6,k = 2,nums = [-1, -1, 5, -2, 3, 4]
输出：8

样例3：

输入：n = 4,k = 2,nums = [-5, -3, 2, 1]
输出：3

问题的求解思路

1. 特殊情况的处理

在正式求解之前，先考虑一些特殊情况：

数组长度等于 k：如果 n=k，这意味着我们无法删除任何元素，直接返回数组的总和即可。这个特例可以在代码中单独处理。
数组长度大于 k：这种情况下需要通过滑动窗口法计算子数组和的最大值，同时考虑删除元素的影响。

2. 滑动窗口的基本原理

滑动窗口是一种高效计算固定大小子数组和的方法：

在长度为 k的窗口中，记录窗口内的元素和。
窗口从数组的起点向终点滑动，每次移入一个新元素，同时移出窗口中最左边的元素。
在滑动过程中，更新子数组和的最大值。

滑动窗口的时间复杂度为 O(n)，远优于暴力求解所有子数组和的 O(nk)。

3. 删除元素的模拟

要计算删除一个元素后形成的最大子数组和，可以通过以下步骤完成：

遍历数组的每个元素，假设当前删除的是第 i 个元素。
生成一个新的数组，即原数组去掉第 i个元素。
对新的数组应用滑动窗口法，计算长度为 k 的子数组和的最大值。
将上述结果与全局最大值比较并更新。

通过这种模拟，我们可以验证删除每个元素后的最优情况。

以下是 Python 代码实现，包含详细注释：

python
复制代码
def max_k_sum_after_removal(n, k, nums):
    # 特殊情况：如果数组长度正好等于 k，则无需删除元素
    if n == k:
        return sum(nums)

    # 定义一个函数，计算数组中长度为 k 的子数组的最大和
    def max_k_sum(arr):
        window_sum = sum(arr[:k])  # 初始窗口和
        max_sum = window_sum
        for i in range(k, len(arr)):
            # 窗口滑动：加入一个新元素，移出一个旧元素
            window_sum += arr[i] - arr[i - k]
            max_sum = max(max_sum, window_sum)
        return max_sum

    # 遍历每个元素，模拟删除
    max_result = float('-inf')  # 初始化最大值
    for i in range(n):
        # 删除第 i 个元素后的新数组
        remaining = nums[:i] + nums[i+1:]
        # 计算剩余数组的最大子数组和
        max_result = max(max_result, max_k_sum(remaining))

    return max_result

算法分析

1. 时间复杂度

滑动窗口计算：
- 每次计算长度为 k 的子数组和需要 O(n)。
- 删除每个元素后，需要重新计算一次，总共 n 次。
总时间复杂度：O(n^2)。
空间复杂度：
- 模拟删除元素时会创建新数组，空间复杂度为 O(n)。

2. 优化方向

对于每次删除后重新计算子数组最大和，可以尝试动态规划（动态更新子数组和）进一步优化。
可以避免显式地复制数组，而通过直接跳过第 i 个元素实现更高效的滑动窗口。

测试样例与结果分析

样例 1

输入：n=5,k=3,nums=[2,1,3,−1,4]

删除第 1 个元素后，数组为 [1,3,−1,4]，最大子数组和为 8。
删除第 2 个元素后，数组为 [2,3,−1,4]，最大子数组和为 7。
删除第 3 个元素后，数组为 [2,1,−1,4]，最大子数组和为 5。
删除第 4 个元素后，数组为 [2,1,3,4]，最大子数组和为 9。

输出：8

样例 2

输入：n=6,k=2,nums=[−1,−1,5,−2,3,4]

删除第 1 个元素后，数组为 [−1,5,−2,3,4]，最大子数组和为 8。
删除第 2 个元素后，数组为 [−1,5,−2,3,4]，最大子数组和为 8。