青训营X豆包MarsCode--观光景点组合得分问题题解 | 豆包MarsCode AI刷题观光景点组合得分问题问题

观光景点组合得分问题

问题描述

小R正在研究一组观光景点，每个景点都有一个评分，保存在数组 values 中，其中 values[i] 表示第 i 个观光景点的评分。同时，景点之间的距离由它们的下标差 j - i 表示。

一对景点 (i < j) 的观光组合得分为 values[i] + values[j] + i - j，也就是两者评分之和减去它们之间的距离。

小R想知道，在哪种情况下能够获得观光景点组合的最高得分。

测试样例

样例1：

输入：values = [8, 3, 5, 5, 6]
输出：11

样例2：

输入：values = [10, 4, 8, 7]
输出：16

样例3：

输入：values = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：8

Code:


using namespace std;

int solution(vector<int> values) {
    if(values.size() == 1) return 0;
    int maxv = 0 , res = 0;

    for(int i = 0 ; i < values.size() ; i ++)
    {
        res = max(res , values[i] - i + maxv);
        maxv = max(maxv , values[i] + i);
    }
    return res; // Placeholder return
}

int main() {
    cout << (solution({8, 3, 5, 5, 6}) == 11) << endl;
    cout << (solution({10, 4, 8, 7}) == 16) << endl;
    cout << (solution({1, 2, 3, 4, 5}) == 8) << endl;
    return 0;
}

题目分析与理解

在这个问题中，我们给定了一个整数数组 values，目标是通过某种特定的方式计算并找到最大值。通过分析代码，发现问题的本质在于结合数组中的元素值及其索引，通过特定的公式来计算出一个结果。

在这个过程中，最关键的步骤是理解公式 res = max(res, values[i] - i + maxv) 和 maxv = max(maxv, values[i] + i) 的含义及其计算逻辑。下面我们将详细分析题目的要求，逐步解析代码的实现，并总结出解题的思路和优化方法。

问题的关键公式

题目中的核心公式是：
res = max(res, values[i] - i + maxv)
和
maxv = max(maxv, values[i] + i)

我们需要通过这两个公式来找到最大值。这是基于以下几方面的考虑：

数组元素与其索引的关系：
- 对于数组中的每个元素 values[i]，我们要考虑它与其索引 i 结合后的某种表现形式，计算出一个最优值。
- 通过公式 values[i] - i + maxv，我们希望得到当前元素 values[i] 与它的索引 i 的差值，并加上之前计算出的最大参考值 maxv。
maxv 的更新：
- maxv = max(maxv, values[i] + i)，该公式的意思是我们要保持追踪数组中每个元素与其索引 i 相加后的最大值。maxv 记录的是迄今为止，我们计算出的最大参考值。
- 通过这个更新过程，我们能够保持一个有效的历史记录，在后续的计算中使用这些最大值来与当前的值做对比，从而得到最优的结果。

解题思路分析

本题的思路实际上是通过动态维护一个历史最大值 maxv 来避免重复计算，并且通过每次计算 values[i] - i + maxv 来得到一个新的可能最大值。我们将这个过程逐步分解如下：

初始化：
- maxv 初始化为 0，它将用于记录数组中每个位置之前（包括当前位置）的最大值 values[i] + i。
- res 初始化为 0，用于记录当前计算过程中的最大值。最终的输出结果就是 res 的值。
遍历数组：
- 遍历数组 values 中的每个元素 values[i]，对每个元素，使用公式 res = max(res, values[i] - i + maxv) 进行更新。
  - 其中，values[i] - i 是当前元素和索引的差，maxv 是历史最大值，表示此前元素索引加值的最大值。
  - 每次更新 res 时，计算出当前值与历史最大值结合的最优解。
- 然后，更新 maxv 为 max(maxv, values[i] + i)，即比较当前值和索引相加的结果与之前的 maxv，保持 maxv 为最大的参考值。
结束遍历，输出结果：
- 当遍历完所有元素后，res 存储了我们要求的最大值。

代码实现分析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int solution(vector<int> values) {
    if(values.size() == 1) return 0;
    int maxv = 0, res = 0;

    for(int i = 0 ; i < values.size() ; i++) {
        res = max(res, values[i] - i + maxv);
        maxv = max(maxv, values[i] + i);
    }
    return res; // Placeholder return
}

int main() {
    cout << (solution({8, 3, 5, 5, 6}) == 11) << endl;
    cout << (solution({10, 4, 8, 7}) == 16) << endl;
    cout << (solution({1, 2, 3, 4, 5}) == 8) << endl;
    return 0;
}

1. 初始化部分

int maxv = 0, res = 0;

这两行代码分别初始化了 maxv 和 res。maxv 用来追踪到当前位置为止最大的 values[i] + i，res 用来存储每次计算得到的最大结果。

2. 遍历部分

for(int i = 0; i < values.size(); i++) {
    res = max(res, values[i] - i + maxv);
    maxv = max(maxv, values[i] + i);
}

这个循环遍历了数组中的所有元素。每次循环都用 values[i] - i + maxv 计算当前可能的最大值，并更新 maxv。通过不断更新 res 和 maxv，我们确保能够找到最终的最大结果。

3. 输出结果

return res;

返回最终的最大值 res，这是我们经过遍历和计算得到的结果。

示例分析

示例 1

输入：{8, 3, 5, 5, 6}

初始时，maxv = 0 和 res = 0。
遍历每个元素：
- i = 0，res = max(0, 8 - 0 + 0) = 8，更新 maxv = max(0, 8 + 0) = 8。
- i = 1，res = max(8, 3 - 1 + 8) = 10，maxv = max(8, 3 + 1) = 8。
- i = 2，res = max(10, 5 - 2 + 8) = 11，maxv = max(8, 5 + 2) = 7。
- i = 3，res = max(11, 5 - 3 + 8) = 11，maxv = max(7, 5 + 3) = 8。
- i = 4，res = max(11, 6 - 4 + 8) = 11，maxv = max(8, 6 + 4) = 10。
最终结果为 11。

示例 2

输入：{10, 4, 8, 7}

初始时，maxv = 0 和 res = 0。
遍历每个元素：
- i = 0，res = max(0, 10 - 0 + 0) = 10，更新 maxv = max(0, 10 + 0) = 10。
- i = 1，res = max(10, 4 - 1 + 10) = 13，maxv = max(10, 4 + 1) = 10。
- i = 2，res = max(13, 8 - 2 + 10) = 16，maxv = max(10, 8 + 2) = 10。
- i = 3，res = max(16, 7 - 3 + 10) = 16，maxv = max(10, 7 + 3) = 10。
最终结果为 16。

时间与空间复杂度分析

时间复杂度：
本算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组 values 的长度。我们只遍历了一次数组，计算每个元素的值，因此时间复杂度为线性。
空间复杂度：
空间复杂度为 O(1)，因为我们只用了常数个额外变量 maxv 和 res 来存储计算结果。

总结

本题考察了动态更新和参考最大值的技巧，通过不断更新 maxv 和 res，我们能够在一次遍历中获得最终的最大结果。
通过有效地使用前缀最大值技巧，我们成功减少了重复计算，提高了算法的效率。
时间和空间复杂度均为 O(n) 和 O(1) ，算法效率较高，能够适应题目要求的输入规模。

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