卡牌翻面求和问题 | 豆包MarsCode AI 刷题

简单记录一下《卡牌方面求和》这道题解题思路。

题面如下：

问题描述

小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 $a_i$，背面是 $b_i$。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 $10^9+7$ 取模。

例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。

样例1：

对于n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2],即3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，考虑的组合可以是1,3,2即正面、背面、背面，也可以是1,2,3即正面、正面、背面，还可以是2,2,2即背面，正面，背面总共3种方案数。

样例2：

对于n = 4 ,a = [3，1, 2, 4] ,b = [1，2, 3, 1],即4张卡牌，正反面数字分别为 (3,1)，(1,2)，(2,3) 和 (4,1)，考虑的组合可以是3,2,3,4即正面、背面、背面、正面，也可以是3,2,3,1即正面、背面、背面、背面，还可以是1,2,2,4即背面、背面、正面、正面，还可以是1,2,2,1即背面、背面、正面、背面，还可以是1,1,3,4即背面、正面、背面、正面还可以是1,1,3,1即背面、正面、背面、背面。总共6种方案数。

解题思路

问题可以转化为，我们需要找到一种计算方法，对于 n 组数字对，每队从中抽选一个数字并计算这n个数字之和并保证可以被3整除，最终统计不同的抽取方案个数。

下面我们先来独立思考一下这道题要怎么做：

1、由于我们需要计算数字之和是否能被3整除，这个问题很容易联想到使用动态规划（DP）来记录当前数字之和模3的不同状态。

2、我们可以使用一个长度为3的数组 dp来存储状态，其中 dp[i] 表示当前数字之和模3为 i 的方案数。

3、对于每一张卡牌，我们有两个选择（正面或背面），也就是一组数字对，因此我们需要分别考虑两种情况来更新 dp 数组。具体来说，对于每张卡牌的正面数字 $a_i$ 和背面数字 $b_i$，我们可以通过以下方式更新 dp 数组：

# 选择正面
new_dp[(j + a[i]) % 3] += dp[j]
# 选择背面
new_dp[(j + b[i]) % 3] += dp[j]

每次更新后，我们需要将 new_dp 赋值给 dp，并继续处理下一张卡牌。

4、考虑到当n的值太大时，方案数量可能过大，我们需要对结果取模。通过这一项计算，最终得到的dp[0]就是我们需要的能被3整除的方案数结果。

完整代码如下：

def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
    MOD = 10 ** 9 + 7
    # 初始化
    dp = [0] * 3
    dp[0] = 1 # 数字之和模3之后为0的方案，初始化为1

    for i in range(n):
        new_dp = [0] * 3
        for j in range(3):
            if dp[j] > 0:
                # 选择正面
                new_dp[(j + a[i]) % 3] = (new_dp[(j + a[i]) % 3] + dp[j]) % MOD
                # print(i, j, new_dp)
                # 选择背面
                new_dp[(j + b[i]) % 3] = (new_dp[(j + b[i]) % 3] + dp[j]) % MOD
                # print(i, j, new_dp)
        dp = new_dp
    
    return dp[0]

可以看到结果是正确的：