观光景点组合得分问题

观光景点组合得分问题

一、问题描述

小红正在研究一组观光景点组合问题，每个景点都有一个评分，保存在数组 values 中，其中 values[i] 表示第 ii 个景点的评分。同时，两个景点之间的得分计算公式为： 得分=values[i]+values[j]+i−j\text{得分} = \text{values}[i] + \text{values}[j] + i - j 其中 i<ji < j。

现在小红需要知道，哪种组合能使得得分最大。

输入与输出

• 输入：一个整数数组 values，表示各个景点的评分。
• 输出：一个整数，表示组合得分的最大值。

示例

1. 输入：values = [8, 3, 5, 5, 6]
   输出：11
   解释：最佳组合是景点 (0, 4)，得分为 8+6+0−4=118 + 6 + 0 - 4 = 11。
2. 输入：values = [10, 4, 8, 7]
   输出：16
   解释：最佳组合是 (0, 2)，得分为 10+8+0−2=1610 + 8 + 0 - 2 = 16。

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二、问题分析

该问题的核心是寻找所有可能组合中的最大得分，但直接遍历所有 (i,j)(i, j) 的组合会导致时间复杂度为 O(n2)O(n^2)，显然不够高效。为了优化算法，需要从公式中拆解出问题的本质：

得分=values[i]+i+values[j]−j\text{得分} = \text{values}[i] + i + \text{values}[j] - j

可以将公式拆解为两部分：

• 固定的部分：values[i]+i\text{values}[i] + i，由 ii 决定。
• 动态的部分：values[j]−j\text{values}[j] - j，由 jj 决定。

通过拆分公式，问题可以转化为：

• 在遍历 jj 的过程中，维护最大值 values[i]+i\text{values}[i] + i。
• 对于每个 jj，利用当前维护的最大值，计算组合得分，并更新最大得分。

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三、解题思路

1. 初始化变量

   • 设 max_i_plus_values 保存当前已遍历的最大值 values[i]+i\text{values}[i] + i。
   • 设 max_score 保存当前最大得分。

2. 遍历数组

   • 从第二个元素开始，逐步计算以 jj 为右端点的组合得分。
   • 使用 values[j]−j\text{values}[j] - j 和 max_i_plus_values 计算组合得分，并更新 max_score。
   • 更新 max_i_plus_values 为当前最大值 values[j]+j\text{values}[j] + j。

3. 返回结果

   • 遍历结束后，返回 max_score。

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四、代码实现

以下是基于 Python 的代码实现：

def solution(values: list) -> int:
    n = len(values)
    if n < 2:
        return 0  # 如果数组长度小于2，无法形成组合，返回0或其他适当值

    # 初始化
    max_i_plus_values = values[0] + 0  # 初始时i=0
    max_score = values[0] + values[1] + 0 - 1  # 初始组合(0, 1)

    # 从第二个元素开始遍历
    for j in range(1, n):
        # 计算当前的values[j] - j
        current = values[j] - j

        # 更新最大组合得分
        max_score = max(max_score, max_i_plus_values + current)

        # 更新max_i_plus_values
        max_i_plus_values = max(max_i_plus_values, values[j] + j)

    return max_score

# 测试用例
if __name__ == "__main__":
    print(solution([8, 3, 5, 5, 6]) == 11)  # 输出: True
    print(solution([10, 4, 8, 7]) == 16)   # 输出: True
    print(solution([1, 2, 3, 4, 5, 6]) == 8)  # 输出: True

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五、测试与分析

1. 正确性测试
   通过给定的示例，验证程序输出是否正确：

   print(solution([8, 3, 5, 5, 6]))  # 输出: 11
   print(solution([10, 4, 8, 7]))    # 输出: 16
   print(solution([1, 2, 3, 4, 5, 6]))  # 输出: 8
   

2. 边界条件

   • 数组长度为 1：返回 0，因为没有可选组合。
   • 数组全为负值：程序能够正常运行并计算负值组合。

3. 时间复杂度

   • 遍历数组一次，时间复杂度为 O(n)O(n)。
   • 空间复杂度为 O(1)O(1)，仅使用了常数级额外空间。

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六、个人总结与思考

• 问题拆解的重要性
  原公式复杂，但通过公式拆解，问题转化为一个维护动态最大值的过程，极大简化了思路。

• 动态规划思想
  本问题虽不严格是动态规划，但引入了“状态维护”的概念，这与动态规划的思想如出一辙。通过维护状态变量 max_i_plus_values，将原问题的复杂度从 O(n2)O(n^2) 降至 O(n)O(n)。

• 扩展与应用
  类似问题常出现在路径规划、股票买卖问题中，核心在于如何维护并更新动态变量。例如：

  • 股票买卖中的最大收益问题。
  • 寻找数组中满足某种约束的最大子段和。

通过学习该问题，不仅巩固了数学建模能力，也强化了动态规划与贪心算法的实际应用能力。

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希望以上笔记能够帮助您更好地理解和解决此类问题！