魔法甜点之和：小包的新挑战 | 豆包MarsCode AI刷题问题背景小R有N个甜点，每个甜点都有一个固定的喜爱值。小

题目解析

问题背景

小R有N个甜点，每个甜点都有一个固定的喜爱值。小R手上有M个魔法棒，他的目标是通过选择一些甜点，可能使用魔法棒使得这些甜点的喜爱值之和恰好为S。

问题解读

每个甜点的喜爱值可以通过两种方式来影响：

不使用魔法棒：直接取该甜点的喜爱值。
使用魔法棒：该甜点的喜爱值变为它的阶乘。

小R的目标是选择一些甜点，使用魔法棒或不使用魔法棒，使得这些甜点的喜爱值之和恰好为S，并且不超过M次使用魔法棒。

问题分析

本题可以分为以下几个步骤：

选择甜点：每个甜点可以选择或不选择，选择后可以决定是否使用魔法棒。
阶乘计算：每个甜点的阶乘值是有限制的，如果阶乘值超过S，就无法使用魔法棒。
分治法：由于有N个甜点，我们可以将问题拆成两部分，分别处理前半部分和后半部分。这样有助于减少问题的规模，使得每个子问题的规模较小，避免了暴力搜索带来的计算复杂度。

思路与解法

1. 分治法

由于问题中存在N个甜点和M个魔法棒，我们可以将问题分为两部分来解决。具体做法如下：

将甜点数组分为两部分：likes_first和likes_second。
分别计算每部分的所有可能的组合，包括选择的甜点和使用魔法棒的次数。
使用字典（sum_counts_first 和 sum_counts_second）存储每部分所有可能的“喜爱值总和”和“使用魔法棒的次数”。

2. 动态规划+递归

递归地遍历每一部分甜点，计算其所有可能的组合，包括不使用魔法棒、使用魔法棒、以及阶乘计算。
使用一个缓存机制来避免重复计算阶乘，确保计算效率。

3. 合并结果

计算完两部分后，我们将它们的结果进行合并，检查两部分组合的喜爱值之和是否等于S，并且魔法棒的使用次数总和不超过M。

代码详解

def solution(n, m, s, like):
    from collections import defaultdict
    import sys
    sys.setrecursionlimit(1 << 25)  # 增大递归深度限制

    # 预计算阶乘，避免重复计算
    factorial_cache = {}

    def factorial(x):
        if x in factorial_cache:
            return factorial_cache[x]
        result = 1
        for i in range(2, x + 1):
            result *= i
            if result > s:
                result = s + 1  # 超过 s 的阶乘值设为 s+1，用于剪枝
                break
        factorial_cache[x] = result
        return result

    # 将甜点分为两部分
    mid = n // 2
    likes_first = like[:mid]
    likes_second = like[mid:]

    # 处理第一部分
    sum_counts_first = defaultdict(lambda: defaultdict(int))

    def dfs_first(i, total_like, wands_used):
        if i == len(likes_first):
            sum_counts_first[total_like][wands_used] += 1
            return
        # 不选择当前甜点
        dfs_first(i + 1, total_like, wands_used)
        # 选择当前甜点，不使用魔法棒
        dfs_first(i + 1, total_like + likes_first[i], wands_used)
        # 选择当前甜点，使用魔法棒（如果阶乘值不超过 s）
        fact = factorial(likes_first[i])
        if fact <= s:
            dfs_first(i + 1, total_like + fact, wands_used + 1)

    dfs_first(0, 0, 0)

    # 处理第二部分
    sum_counts_second = defaultdict(lambda: defaultdict(int))

    def dfs_second(i, total_like, wands_used):
        if i == len(likes_second):
            sum_counts_second[total_like][wands_used] += 1
            return
        # 不选择当前甜点
        dfs_second(i + 1, total_like, wands_used)
        # 选择当前甜点，不使用魔法棒
        dfs_second(i + 1, total_like + likes_second[i], wands_used)
        # 选择当前甜点，使用魔法棒（如果阶乘值不超过 s）
        fact = factorial(likes_second[i])
        if fact <= s:
            dfs_second(i + 1, total_like + fact, wands_used + 1)

    dfs_second(0, 0, 0)

    # 合并两部分的结果
    total_ways = 0
    for sum_first in sum_counts_first:
        sum_second_needed = s - sum_first
        if sum_second_needed in sum_counts_second:
            counts_first = sum_counts_first[sum_first]
            counts_second = sum_counts_second[sum_second_needed]
            for wands_first in counts_first:
                for wands_second in counts_second:
                    if wands_first + wands_second <= m:
                        total_ways += counts_first[wands_first] * counts_second[wands_second]

    return total_ways

关键点分析

阶乘计算：
- 为了避免重复计算阶乘，我们使用了一个缓存（factorial_cache）来存储已经计算过的阶乘结果。
- 如果阶乘值超出S，我们立即停止计算并返回S+1，这样可以通过剪枝来减少计算量。
分治法：
- 将甜点分成两部分进行处理，每一部分递归地计算所有可能的组合。
- 通过sum_counts_first和sum_counts_second分别记录每一部分的结果，从而避免了暴力枚举。
合并结果：
- 在最终合并结果时，我们通过遍历两部分的可能结果，检查是否满足喜爱值之和为S且魔法棒使用次数不超过M。

知识总结与个人思考

知识点总结

递归与分治法：通过将大问题拆解为两个较小的子问题，可以显著降低问题的复杂度，避免暴力枚举。
动态规划与缓存：通过缓存计算结果（例如阶乘），避免重复计算，从而提高了程序效率。
剪枝优化：通过对阶乘值进行剪枝，可以避免不必要的计算，进一步优化性能。

学习建议

递归思维：遇到这类问题时，应该尝试将问题拆分成更小的子问题，分治法能够帮助我们有效解决。
缓存与优化：在遇到重复计算时，考虑使用缓存或记忆化技术来避免重复计算，从而提高效率。
阶乘计算与剪枝：在处理阶乘问题时，需要注意阶乘增长速度较快，因此通过剪枝优化，可以避免过大的数字影响计算结果。

总的来说，本题通过分治法和递归来优化问题的求解过程，并使用缓存和剪枝技术大幅提高了效率。对于入门同学，理解递归的拆解和优化技术是非常有帮助的。