做题笔记：小U的最大连续移动次数问题
问题描述：
小U决定在一个 mx n的地图上行走。地图中的每个位置都有一个高度，表示地形的高低。小U只能在满足以下条件的情况下移动:
- 只能上坡或者下坡，不能走到高度相同的点。
- 移动时必须交替进行:上坡后必须下坡，下坡后必须上坡，不能连续上坡或下坡
- 每个位置只能经过一次，不能重复行走。 任务是帮助小U找到他在地图上可以移动的最大次数，即在符合所有条件的前提下，小U能走过的最大连续位置数量。
题目内容分析
题目描述了一个类似深度优先搜索（DFS）的路径规划问题，涉及以下关键点：
地图特点：
- 一个 𝑚 × 𝑛 m×n 的二维地图，每个格子有一个具体的高度值。
- 高度值用于判断路径是否符合移动条件。
移动规则：
- 高度限制：只能走到高度不同的格子（上坡或下坡），不能在高度相同的格子间移动。
- 交替移动：必须严格按照上坡-下坡交替的顺序进行移动，不能连续上坡或连续下坡。
- 单次通过：每个位置只能经过一次，不能重复走回之前的格子。
目标：
找到地图上可以行走的最大连续路径长度。
解题思路
路径搜索：
- 采用DFS进行路径遍历。
- 从每一个起点开始，尝试所有可能的移动方向。
- 每次移动前检查是否满足规则：当前移动是“上坡”还是“下坡”，并根据当前状态调整下一步的允许条件。
状态保存：
- 使用visited集合记录已访问的格子，防止重复走回。
- 通过一个布尔变量is_uphill记录当前移动方向是否为上坡，便于在递归过程中切换上下坡状态。
结果计算：
- 从地图的每一个格子开始DFS，记录从该点出发的最大路径长度，最终取所有起点的最大值。
复杂度分析：
- 时间复杂度：理论上最差情况下，每个点都需要遍历所有剩余未访问的点，时间复杂度为 𝑂 ( 𝑚 ⋅ 𝑛 ⋅ 4 𝑚 ⋅ 𝑛 ) O(m⋅n⋅4 m⋅n )。
- 空间复杂度：由于递归调用栈和visited集合的使用，空间复杂度为 𝑂 ( 𝑚 ⋅ 𝑛 ) O(m⋅n)。
代码思路分析
嵌套循环遍历所有起点：
max_result = 0
for i in range(m):
for j in range(n):
max_result = max(max_result, dfs(i, j, True, set([(i, j)])))
max_result = max(max_result, dfs(i, j, False, set([(i, j)])))
- 遍历每个格子：将每一个格子作为起点，尝试寻找从该点出发的最长路径。
- 双向探索： dfs(i, j, True, ...)：假设从该点开始以“上坡”作为第一步。 dfs(i, j, False, ...)：假设从该点开始以“下坡”作为第一步。
- max_result：记录从所有起点出发的最大路径长度。
结果返回：
return max_result
- 最终返回 max_result，即符合条件的最大连续移动次数。
DFS函数
def dfs(x, y, is_uphill, visited):
...
输入参数：
- x, y：当前格子的坐标。
- is_uphill：当前是否是上坡移动。
- True 表示上坡，下一步只能走到比当前点高度更高的位置。
- False 表示下坡，下一步只能走到比当前点高度更低的位置。
- visited：保存当前路径中已经访问过的格子，防止重复访问。
核心逻辑：
初始化最大移动次数：
max_moves = 0
- 用于记录从当前格子出发的最大路径长度。
定义移动方向：
directions = [(-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)]
- 定义四个可能的移动方向：上、下、左、右。
- 每个方向用相对坐标表示：
- (-1, 0) 表示向上移动1格。
- (1, 0) 表示向下移动1格。
- (0, -1) 表示向左移动1格。
- (0, 1) 表示向右移动1格。
尝试每个方向：
for dx, dy in directions:
nx, ny = x + dx, y + dy
if 0 <= nx < m and 0 <= ny < n and (nx, ny) not in visited:
...
- 根据当前格子的坐标 x, y 和方向 dx, dy，计算新格子的坐标 nx, ny。
- 边界检查：确保新坐标 nx, ny 在地图范围内。
- 访问检查：确保新格子未被访问。
移动判断与递归：
if is_uphill and a[nx][ny] > a[x][y]: # 上坡条件
visited.add((nx, ny))
max_moves = max(max_moves, 1 + dfs(nx, ny, not is_uphill, visited))
visited.remove((nx, ny)) # 回溯
elif not is_uphill and a[nx][ny] < a[x][y]: # 下坡条件
visited.add((nx, ny))
max_moves = max(max_moves, 1 + dfs(nx, ny, not is_uphill, visited))
visited.remove((nx, ny)) # 回溯
- 上坡条件：
- 当 is_uphill == True 且新格子的高度 a[nx][ny] > a[x][y] 时，可以移动。
- 调用递归函数 dfs(nx, ny, not is_uphill, visited)：
- nx, ny 是新格子的坐标。
- not is_uphill 切换为下坡状态。
- 回溯：在递归结束后移除 visited 中的当前格子，以便后续尝试其他路径。
- 下坡条件：
- 类似上坡，只是条件改为 a[nx][ny] < a[x][y]。
- 更新最大值：
- 通过 max_moves = max(max_moves, ...)，记录当前路径的最大长度。
返回结果：
return max_moves
- 返回从当前格子出发的最大移动次数。
总结与展望
总结：
- 通过DFS搜索和回溯思想解决了路径规划问题。
- 注意了路径的状态保存（visited和is_uphill）以及回溯逻辑，确保代码可以正确尝试所有可能的路径。
优化空间：
- 剪枝：若某方向无法形成有效路径，则尽早结束递归，减少不必要的搜索。
- 动态规划（DP）优化：将路径的中间结果保存下来，避免重复计算。例如，用一个三维DP数组dp[x][y][is_uphill]保存从某点出发的最大移动次数。
- 并行计算：如果地图规模较大，可以通过多线程或分区计算提升性能。
扩展问题：
- 如果地图变为动态生成的（如无穷大地图），如何设计算法？
- 如果添加新的移动规则（如能在高度相同点间跳跃），如何调整现有代码逻辑？
通过这个问题，可以进一步熟悉DFS与状态记录的结合，也为动态规划的理解打下基础。
