题目描述
小F最近遇到了一个有趣的数组操作问题。给定一个长度为N的数组A，你可以通过如下两种操作构造一个新数组B：
- 操作 1：删除数组
A的第一个元素并将其附加到数组B。 - 操作 2：删除数组
A的最后一个元素并将其附加到数组B。
当数组B构造完成后，你需要计算一个值。该值等于B[i]和B[i+1]之间的分数之和，分数定义为：F(X, Y) = pow(X, Y) % (10^9 + 7)，其中X和Y分别是数组B中的元素，1 <= i < N。
注意：
- 计算单对数字的分数时，你需要对每对
(X^Y)取模10^5 + 7，但计算总和时不需要对总和取模。
你的任务是找到构造数组B的最大可能值。
解题思路
-
理解题目：
- 我们需要通过两种操作（从数组
A的前端或后端取元素）来构造数组B。 - 计算数组
B中相邻元素的分数之和，分数定义为F(X, Y) = pow(X, Y) % (10^5 + 7)。 - 目标是最大化这个分数之和。
- 我们需要通过两种操作（从数组
-
数据结构选择：
- 我们可以使用双端队列（deque）来模拟数组
A的操作，因为它支持从两端高效地添加和删除元素。
- 我们可以使用双端队列（deque）来模拟数组
-
算法步骤：
- 初始化一个双端队列，并将数组
A的所有元素添加到队列中。 - 使用递归或动态规划来尝试所有可能的构造数组
B的方式，并计算每种方式的分数之和。 - 选择分数之和最大的构造方式。
- 初始化一个双端队列，并将数组
代码实现
from collections import deque
def solution(N: int, A: list) -> int:
# 初始化双端队列
dq = deque(A)
# 定义计算分数的函数
def calculate_score(B: list) -> int:
score = 0
MOD = 10**5 + 7 # 注意：这里是对每对(X^Y)取模10^5 + 7
# 计算数组B中相邻元素的分数之和
for i in range(len(B) - 1):
score += pow(B[i], B[i + 1], MOD)
return score
# 递归函数来尝试所有可能的构造数组B的方式
def construct_B(dq: deque, B: list) -> int:
if not dq:
return calculate_score(B)
# 尝试从队列的前端取元素
front_element = dq.popleft()
front_score = construct_B(dq, B + [front_element])
dq.appendleft(front_element) # 恢复队列状态
# 尝试从队列的后端取元素
back_element = dq.pop()
back_score = construct_B(dq, B + [back_element])
dq.append(back_element) # 恢复队列状态
# 返回两种方式中分数之和较大的那个
return max(front_score, back_score)
# 开始递归构造数组B
return construct_B(dq, [])
if __name__ == '__main__':
print(solution(N = 3, A = [1, 1, 2]) == 3)
print(solution(N = 4, A = [2, 3, 1, 1]) == 12)
print(solution(N = 5, A = [5, 4, 3, 2, 1]) == 1114)
关键步骤解释
-
初始化双端队列：
- 使用
deque(A)将数组A转换为双端队列，以便从两端高效地操作。
- 使用
-
计算分数的函数：
calculate_score(B)函数计算数组B中相邻元素的分数之和。
-
递归构造数组B：
construct_B(dq, B)函数尝试从队列的前端或后端取元素，并递归地构造数组B，计算每种方式的分数之和。- 最终返回分数之和最大的构造方式。
注意
- 递归方法可能会导致栈溢出，特别是在
N较大时。可以考虑使用动态规划或其他优化方法来避免这个问题。
测试样例
样例1：
输入：
N = 3, A = [1, 1, 2]输出：3
样例2：
输入：
N = 4, A = [2, 3, 1, 1]输出：12
样例3：
输入：
N = 5, A = [5, 4, 3, 2, 1]输出：1114
总结
通过使用双端队列和递归方法，我们可以有效地构造数组B，并计算出最大的可能值。虽然递归方法在处理大规模输入时可能会导致性能问题，但它提供了一个清晰的解决方案来理解问题的本质。对于更大的N，可以考虑使用动态规划或其他优化方法来进一步减少计算量。
