题目序号：123
题目难度：中等
题目描述：
小C有多种不同面值的硬币，每种硬币的数量是无限的。他希望知道，如何使用最少数量的硬币，凑出给定的总金额N。小C对硬币的组合方式很感兴趣，但他更希望在满足总金额的同时，使用的硬币数量尽可能少。
例如：小C有三种硬币，面值分别为 1, 2, 5。他需要凑出总金额为 18。一种最优的方案是使用三个 5 面值的硬币，一个 2 面值的硬币和一个 1 面值的硬币，总共五个硬币。
测试用例：
1.题目理解：
这个问题属于组合问题，问题的目标是在给定一系列硬币面值和特定目标金额的情况下，寻找一种硬币组合方案，使得这些硬币的总价值恰好等于目标金额，并且使用的硬币数量尽可能少。这种问题也是一个寻求最优解类问题，即我们追求的是最小化使用的硬币总数。
通常会考虑使用动态规划（DP）或深度优先搜索（DFS）算法处理这类问题。这道题我选择使用DP来做
定义状态：创建一个数组dp，其中dp[i]表示组成金额i所需的最少硬币数量。
初始化状态：dp[0]初始化为0，因为组成金额0不需要任何硬币。对于所有其他的i（1到amount），初始时dp[i]可以被设置为一个很大的数（比如Integer.MAX_VALUE），表示这些金额暂时无法被组成。
状态转移方程：对于每个硬币面值coin，遍历dp数组，从coin到amount，更新dp[i]的值。如果dp[i - coin]不是初始的很大值（即i - coin金额可以被组成），则更新dp[i]为dp[i]和dp[i - coin] + 1中的较小值。这表示组成金额i所需的最少硬币数是组成i - coin所需的最少硬币数加1（当前硬币）。
边界条件：在遍历过程中，如果dp[i]的值没有被更新过（仍然是初始的很大值），则表示金额i无法被组成。
构建解： 如果dp[amount]不是初始的很大值，那么表示目标金额可以被组成。此时，可以通过逆向遍历dp数组来构建具体的硬币组合。从amount开始，对于每个硬币面值，如果dp[amount]等于dp[amount - coin] + 1，则表示可以使用coin面值的硬币，将amount减去coin，并记录下这个硬币。
2.代码
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Arrays;
public class Main {
public static List<Integer> solution(int[] coins, int amount) {
Arrays.sort(coins);
int[] dp = new int[amount + 1];
Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
dp[0] = 0;
for (int num : coins) {
for (int i = num; i <= amount; i++) {
if (dp[i - num] != Integer.MAX_VALUE) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - num] + 1);
}
}
}
if (dp[amount] == Integer.MAX_VALUE) {
return null;
}
List<Integer> result = new ArrayList<>();
int remainingTotal = amount;
for (int i = coins.length - 1; i >= 0; i--) {
while (remainingTotal >= coins[i] && dp[remainingTotal] == dp[remainingTotal - coins[i]] + 1) {
result.add(coins[i]);
remainingTotal -= coins[i];
}
}
// System.out.println(result);
return result;
}
public static void main(String[] args) {
// Add your test cases here
System.out.println(solution(new int[]{1, 2, 5}, 18).equals(List.of(5, 5, 5, 2, 1)));
}
}
3.代码讲解
使用Arrays.sort(coins)对硬币面值进行排序，这样可以从最小的硬币面值开始处理。
创建一个长度为amount + 1的数组dp，用于存储动态规划的中间结果。dp[i]表示组成金额i所需的最少硬币数量。初始化所有值为Integer.MAX_VALUE，表示一个非常大的数，代表初始时无法组成该金额。
设置dp[0]为0，因为组成金额0不需要任何硬币。
外层循环遍历每个硬币面值，内层循环从当前硬币面值到amount，更新dp数组。如果dp[i - num]不是Integer.MAX_VALUE（即可以组成金额i - num），则更新dp[i]为dp[i - num] + 1和当前dp[i]的最小值，这表示使用一个num面值的硬币来组成金额i。
检查dp[amount]是否仍然是Integer.MAX_VALUE，如果是，则表示无法组成金额amount，返回null。
如果能够组成金额amount，创建一个ArrayList来存储组成该金额的硬币。然后从amount开始，逆向遍历每个硬币面值，如果dp[remainingTotal]等于dp[remainingTotal - coins[i]] + 1，则表示可以使用coins[i]面值的硬币来减少remainingTotal，并将该硬币添加到结果列表中。
4.时间复杂度分析
dp所用时间复杂度通常为O(nm)，n和m分别为dp矩阵的长和宽。所以本题中的时间复杂度为O(amount*n)，前者为金额，后者为硬币的种类，可以近似为O(nn)
