一、古生物DNA序列血缘分析问题
1、问题描述
小U是一位古生物学家，正在研究不同物种之间的血缘关系。为了分析两种古生物的血缘远近，她需要比较它们的DNA序列。DNA由四种核苷酸A、C、G、T组成，并且可能通过三种方式发生变异：添加一个核苷酸、删除一个核苷酸或替换一个核苷酸。小U认为两条DNA序列之间的最小变异次数可以反映它们之间的血缘关系：变异次数越少，血缘关系越近。
你的任务是编写一个算法，帮助小U计算两条DNA序列之间所需的最小变异次数。
dna1: 第一条DNA序列。dna2: 第二条DNA序列。
2、测试样例
样例1：
输入：
dna1 = "AGT",dna2 = "AGCT"
输出：1
样例2：
输入：
dna1 = "AACCGGTT",dna2 = "AACCTTGG"
输出：4
样例3：
输入：
dna1 = "ACGT",dna2 = "TGC"
输出：3
样例4：
输入：
dna1 = "A",dna2 = "T"
输出：1
样例5：
输入：
dna1 = "GGGG",dna2 = "TTTT"
输出：4
二、问题分析
1、解题思路
1. 定义状态：我们使用一个二维数组 dp[i][j] 来表示字符串 dna1 的前 i 个字符和字符串 dna2 的前 j 个字符之间的最小编辑距离。
2. 状态初始化：初始化 dp 数组的第一行和第一列。第一行表示将 dna1 的前 i 个字符转换为空字符串所需的操作次数，即删除操作；第一列表示将空字符串转换为 dna2 的前 j 个字符所需的操作次数，即插入操作。
3. 状态转移方程：
- 如果 dna1[i-1] 和 dna2[j-1] 相同，那么 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] ，因为不需要任何操作。
- 如果 dna1[i-1] 和 dna2[j-1] 不同，那么 dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1 ，因为我们需要执行一次插入、删除或替换操作。
4. 计算结果：最终结果为 dp[m][n] ，其中 m 和 n 分别是 dna1 和 dna2 的长度。
2、解题步骤
-
初始化一个大小为 (m+1) x (n+1) 的二维数组 dp 。
-
填充 dp 数组的第一行和第一列。
-
使用嵌套循环填充 dp 数组的其余部分，根据状态转移方程计算每个状态的值。
-
返回 dp[m][n] 作为最终结果。
三、代码实现
public class Main {
public static int solution(String dna1, String dna2) {
int m = dna1.length();
int n = dna2.length();
// 创建一个二维数组 dp，大小为 (m+1) x (n+1)
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// 初始化 dp 数组的第一行和第一列
for (int i = 0; i <= m; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 0; j <= n; j++) {
dp[0][j] = j;
}
// 填充 dp 数组
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 如果当前字符相同，不需要额外操作
if (dna1.charAt(i - 1) == dna2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 否则，取插入、删除、替换操作的最小值
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1;
}
}
}
// 返回最终结果
return dp[m][n];
}
public static void main(String[] args) {
// 你可以添加更多测试用例
System.out.println(solution("AGT", "AGCT") == 1);
System.out.println(solution("AACCGGTT", "AACCTTGG") == 4);
System.out.println(solution("ACGT", "TGC") == 3);
}
}
四、复杂度分析
1、时间复杂度分析
- 初始化 dp 数组的时间复杂度是 O(m + n)，其中 m 和 n 分别是 dna1 和 dna2 的长度。
- 填充 dp 数组的时间复杂度是 O(m * n)，因为我们需要遍历整个二维数组。
因此，总的时间复杂度是 O(m * n)。
2、空间复杂度分析
- dp 数组的大小是 (m+1) x (n+1)
因此，总的空间复杂度是 O(m * n)。
五、总结
这个问题是一个典型的编辑距离问题，也称为Levenshtein距离问题，它计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小编辑操作数。动态规划是解决这类问题的有效方法，因为它避免了重复计算，并且能够通过构建子问题的解来逐步构建原问题的解。通过定义状态、初始化状态、状态转移和返回结果这四个步骤，我们可以有效地解决此类问题。
