按位与三元组问题与暴力解法

按位与三元组问题

问题描述

小R正在研究位运算中的按位与操作。给定一个整数数组 nums，你需要找到数组中所有满足条件的 按位与三元组 的数目。按位与三元组是由下标 (i, j, k) 组成的三元组，满足以下条件：

1. 0 <= i < nums.length
2. 0 <= j < nums.length
3. 0 <= k < nums.length
4. nums[i] & nums[j] & nums[k] == 0，其中 & 表示按位与运算符。

请你返回所有这样的三元组的数目。

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测试样例

样例1：

输入：nums = [2,1,3]
输出：12

样例2：

输入：nums = [0,2,5]
输出：25

样例3：

输入：nums = [1,2,4]
输出：24

这个问题的目标是计算数组中所有满足条件的按位与三元组的数目。具体来说，我们需要找到所有满足以下条件的三元组 (i, j, k)：

• 0 <= i < nums.length
• 0 <= j < nums.length
• 0 <= k < nums.length
• nums[i] & nums[j] & nums[k] == 0

其中，& 表示按位与操作，要求 nums[i] & nums[j] & nums[k] == 0。

解题思路：

我们可以通过三重循环遍历数组中所有可能的 (i, j, k) 组合，然后检查 nums[i] & nums[j] & nums[k] == 0 的条件是否成立。

关键步骤：

1. 按位与操作： 在数字的二进制表示下，按位与操作会将对应位置的两个数字进行比较，只有当两者都为 1 时，结果才为 1，否则为 0。因此，nums[i] & nums[j] & nums[k] == 0 说明三者的对应位置上不存在同时为 1 的情况。

2. 暴力解法： 使用三重循环遍历所有 (i, j, k) 组合，检查每组是否满足条件。

3. 性能优化： 由于三重循环的时间复杂度为 O(n^3)，对于较大的输入会比较慢。如果 n 较大，考虑是否有更优化的算法（如预处理、空间换时间等）。但在本题中我们先从暴力解法开始。

暴力解法实现：

def countTriplets(nums):
    n = len(nums)
    count = 0
    
    # 遍历所有三元组 (i, j, k)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for k in range(n):
                if (nums[i] & nums[j] & nums[k]) == 0:
                    count += 1
                    
    return count

解释：

1. 我们通过三重嵌套循环遍历数组中的所有三元组 (i, j, k)，其中 i、j 和 k 都是从 0 到 n-1。

2. 对每个三元组 (i, j, k)，计算 nums[i] & nums[j] & nums[k]，如果结果为 0，则计数器 count 增加 1。

3. 最终返回满足条件的三元组数目 count。

测试样例：

# 测试用例 1
nums1 = [2, 1, 3]
print(countTriplets(nums1))  # 输出: 12

# 测试用例 2
nums2 = [0, 2, 5]
print(countTriplets(nums2))  # 输出: 25

# 测试用例 3
nums3 = [1, 2, 4]
print(countTriplets(nums3))  # 输出: 24

结果分析：

• 对于样例 [2, 1, 3]，我们可以通过暴力法计算得到所有三元组中满足按位与为 0 的个数是 12。
• 对于样例 [0, 2, 5]，得到的结果是 25。
• 对于样例 [1, 2, 4]，得到的结果是 24。

暴力解法

暴力解法（Brute Force）是一种通过穷举所有可能的解来解决问题的方法，通常不考虑优化效率，而是依靠直接的计算与遍历来寻找结果。在处理一些较小规模的数据时，暴力解法是简单且直观的选择，能够确保找到正确的答案。暴力解法的特点是算法设计简单，通常是最直接的解法，但其时间复杂度往往较高，可能不适用于大规模数据。

在这个问题中的暴力解法

对于题目中要求我们找到所有满足 nums[i] & nums[j] & nums[k] == 0 的三元组 (i, j, k)，暴力解法的核心思想就是：

1. 遍历所有的三元组 (i, j, k)，其中 i、j、k 可以是数组 nums 中任意位置的索引。
2. 对每一组三元组，计算 nums[i] & nums[j] & nums[k]，检查其是否等于 0。
3. 如果满足条件，计数器加一，最终返回计数器的值。

具体步骤

1. 三重循环：我们需要用三重循环遍历所有可能的 (i, j, k) 组合。每个循环的范围从 0 到 n-1，其中 n 是数组的长度。

2. 按位与操作：对于每一组 (i, j, k)，我们计算 nums[i] & nums[j] & nums[k]。这是一个按位与操作，只有当对应的二进制位上都为 1 时，结果才会是 1，否则为 0。如果 nums[i] & nums[j] & nums[k] == 0，则符合条件。

3. 计数器：我们通过一个计数器来记录满足条件的三元组个数，最后返回计数器的值。

示例解释

假设我们有一个数组 nums = [2, 1, 3]，那么我们可以通过暴力解法来遍历所有的三元组：

1. 计算所有 (i, j, k) 组合的按位与操作结果：

   • nums[0] & nums[0] & nums[0] = 2 & 2 & 2 = 2 （不满足条件）
   • nums[0] & nums[0] & nums[1] = 2 & 2 & 1 = 0 （满足条件）
   • nums[0] & nums[0] & nums[2] = 2 & 2 & 3 = 2 （不满足条件）
   • nums[0] & nums[1] & nums[0] = 2 & 1 & 2 = 0 （满足条件）
   • ...
   • 类似地，我们可以检查所有的三元组，最终会找到满足条件的三元组个数。

2. 返回结果，即所有满足条件的三元组的总数。

时间复杂度

暴力解法的时间复杂度是 O(n^3)，因为我们使用了三重嵌套循环，每一层循环遍历 nums 数组的所有元素，其中 n 是数组的长度。具体地，时间复杂度为：

• 第一层循环遍历 n 个元素。
• 第二层循环遍历 n 个元素。
• 第三层循环遍历 n 个元素。

因此，时间复杂度为 O(n^3)。

空间复杂度

暴力解法的空间复杂度是 O(1)，因为我们只使用了常数空间来存储计数器 count，并没有使用额外的存储空间。

优缺点

优点：

1. 简单直观：暴力解法是最直接的解法，易于理解和实现。
2. 能保证正确性：因为我们遍历了所有可能的三元组，因此能保证找到所有符合条件的解。

缺点：

1. 效率低：对于较大的输入，O(n^3) 的时间复杂度会导致程序运行缓慢，尤其是在 n 较大的情况下。
2. 不适用于大数据集：暴力解法不适用于大规模数据的计算，尤其是当数组长度 n 很大时，算法的执行时间可能非常长。

何时使用暴力解法？

• 小规模数据：当问题规模较小时，暴力解法因为实现简单、容易调试，是一种合理的选择。
• 无法想到更好的优化方案时：在算法设计初期，如果没有找到其他优化方法，可以先实现暴力解法以确保功能正确，然后再考虑性能优化。

总结

暴力解法通过直接穷举所有三元组并检查条件来解决问题，虽然其时间复杂度较高，但由于实现简单且能够保证正确性，常用于解决规模较小或者对性能要求不高的问题。在处理较大规模数据时，我们通常需要考虑其他更高效的算法。