问题描述
小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 aiai，背面是 bibi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3
样例2：
输入：
n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6
样例3：
输入：
n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32
问题理解
需要找到所有卡牌正面或背面朝上的组合，使得这些数字之和可以被3整除。由于组合数量可能非常大，结果需要对 (10^9 + 7) 取模。
数据结构选择
可以使用动态规划（DP）来解决这个问题。具体来说，我们可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 张卡牌中，数字之和模3等于 j 的组合数。
代码分析
- 初始化dp数组，dp[i][j]表示前i张卡牌中，数字之和模3等于j的组合数
dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
dp[0][0] = 1 # 没有卡牌时，数字之和为0的组合数为1
- 遍历每一张卡牌
for i in range(1, n + 1):
# 当前卡牌的正面和背面数字
num1 = a[i - 1]
num2 = b[i - 1]
# 更新dp数组
for j in range(3):
# 选择正面
dp[i][(j + num1) % 3] = (dp[i][(j + num1) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD
# 选择背面
dp[i][(j + num2) % 3] = (dp[i][(j + num2) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD
- 最终结果是前n张卡牌中，数字之和模3等于0的组合数
return dp[n][0]
完整代码演示
def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
MOD = 10**9 + 7
dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
dp[0][0] = 1
for i in range(1, n + 1):
num1 = a[i - 1]
num2 = b[i - 1]
for j in range(3):
dp[i][(j + num1) % 3] = (dp[i][(j + num1) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD
dp[i][(j + num2) % 3] = (dp[i][(j + num2) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD
return dp[n][0]
算法步骤
- 初始化：
dp[0][0] = 1，表示没有卡牌时，数字之和为0的组合数为1。 - 状态转移：
- 对于每一张卡牌
i，我们可以选择正面a[i-1]或背面b[i-1]。 - 更新
dp[i][(j + a[i-1]) % 3]和dp[i][(j + b[i-1]) % 3]。
- 对于每一张卡牌
- 结果：最终结果是
dp[n][0]，即前n张卡牌中，数字之和模3等于0的组合数。
关键步骤解释
- 初始化：
dp[0][0] = 1，表示没有卡牌时，数字之和为0的组合数为1。 - 状态转移：对于每一张卡牌，我们选择正面或背面，并更新
dp数组。 - 结果：最终结果是
dp[n][0]，即前n张卡牌中，数字之和模3等于0的组合数。
总结
通过动态规划，可以有效地计算出所有满足条件的组合数。关键在于正确地初始化DP数组，并根据每张卡牌的正面和背面数字更新DP数组。最终结果即为前 n 张卡牌中，数字之和模3等于0的组合数。
