校验和校验｜ 豆包MarsCode AI 刷题

问题描述

小F设计了一种新的校验和方法，用于对二进制位串进行差错控制。给定一个长度为 𝑛n 的二进制位串 𝑆S，通过对所有长度为 𝑘k 的子串进行异或运算，小F可以计算出该位串的校验和。现在，小F想知道，有多少个与 𝑆S 不同的长度为 𝑛n 的二进制位串能够产生相同的校验和。由于结果可能非常大，你需要将结果对 109+7109+7 取模。

问题理解

1. 校验和计算：

   • 给定一个长度为 n 的二进制位串 S，我们需要计算其校验和。
   • 校验和的计算方式是对所有长度为 k 的子串进行异或运算。

2. 目标：

   • 我们需要找出有多少个与 S 不同的长度为 n 的二进制位串能够产生相同的校验和。
   • 结果需要对 10^9 + 7 取模。

数据结构与算法步骤

1. 校验和的计算：

   • 首先，我们需要计算出给定位串 S 的校验和。
   • 校验和可以通过滑动窗口的方式计算，即遍历所有长度为 k 的子串，并对这些子串进行异或运算。

2. 不同位串的校验和：

   • 对于每个可能的位串，计算其校验和并与 S 的校验和进行比较。
   • 如果校验和相同，则计数加一。

3. 结果取模：

   • 由于结果可能非常大，最终结果需要对 10^9 + 7 取模。

关键点

• 异或运算的性质：异或运算具有交换律和结合律，因此可以简化校验和的计算。
• 滑动窗口：通过滑动窗口的方式可以高效地计算校验和。

代码提示

1. 计算校验和：

   • 首先，我们需要实现一个函数来计算给定位串 S 的校验和。
   • 使用滑动窗口的方式遍历所有长度为 k 的子串，并对这些子串进行异或运算。

2. 生成所有可能的位串：

   • 生成所有可能的长度为 n 的二进制位串。
   • 计算每个位串的校验和，并与 S 的校验和进行比较。

3. 统计结果：

   • 统计校验和相同的位串数量，并对结果取模。

代码框架

关键步骤注释

1. calculate_checksum 函数：

   • 使用滑动窗口的方式计算校验和。
   • 遍历所有长度为 k 的子串，并对这些子串进行异或运算。

2. generate_all_bitstrings 函数：

   • 使用 itertools.product 生成所有可能的长度为 n 的二进制位串。

3. 主逻辑：

   • 计算原始位串 S 的校验和。
   • 遍历所有可能的位串，计算其校验和并与 S 的校验和进行比较。
   • 统计校验和相同的位串数量，并对结果取模。

总结

1. 计算给定位串 S 的校验和。
2. 遍历所有可能的位串，计算其校验和并与 S 的校验和进行比较。
3. 统计校验和相同的位串数量，并对结果取模。